Problema 109

patricia graglia
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Problema 109

Mensaje sin leer por patricia graglia » Mié 28 Mar, 2018 12:30 am

Chicos me pueden ayudar con este problema: En un triángulo rectángulo ABC, con C = 90° , sean K, L y M puntos de los lados AC, BC y AB
respectivamente tales que AK= BL= a, KM= LM= by K M L = 90!°. Demostrar que a =b

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DiegoLedesma
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Re: Problema 109

Mensaje sin leer por DiegoLedesma » Jue 29 Mar, 2018 8:37 pm

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Diremos que $\angle CBA=\alpha$ y $\angle AMK=\beta$. Completando ángulos en $\bigtriangleup
ABC$, se llega a que $\angle AKM=180^{\circ}-(\alpha+\beta)$ y $\angle MLB=\alpha+\beta$.
Aplicamos luego el teorema del seno en $\bigtriangleup KAM$ y en $\bigtriangleup LMB$:
*En $\bigtriangleup KAM$: $\frac{b}{sen\; \alpha }=\frac{a}{sen\; \beta}$ $\Rightarrow$ $\frac{a}{b}=\frac{sen\; \beta}{sen\; \alpha}$
*En $\bigtriangleup LMB$: $\frac{b}{sen(90^{\circ}-\alpha)}$=$\frac{a}{sen(90^{\circ}-\beta)}$ $\Rightarrow$ $\frac{a}{b}=\frac{cos\; \beta}{cos\; \alpha}$
Igualando las 2 expresiones obtenidas, tenemos: $\frac{cos\; \beta}{cos\; \alpha} =\frac{sen\; \beta}{sen\; \alpha}$ $\Rightarrow$ $\frac{sen\; \alpha}{cos\; \alpha}=\frac{sen\; \beta}{cos\; \beta}$ $\Rightarrow$ $tg\; \alpha=tg\; \beta$ $\Rightarrow$
a) $\alpha=\beta$
b) $\alpha=180º+\beta$ (no es posible, pues cada ángulo deberá ser menor a 180º)
Luego, $\bigtriangleup KAM$ es isósceles, siendo $KA=KM$
$\therefore$ $a=b$

ricarlos
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Re: Problema 109

Mensaje sin leer por ricarlos » Jue 29 Mar, 2018 9:55 pm

Spoiler: mostrar
Podrias trazar los puntos $L'$ y $K'$ en el lado $AB$ tales que $LL'$ y $KK'$ sean perpendiculares a $AB$. Luego te tiene que ser facil ver que
A) $LBL'$ es congruente con $AKK'$
y por otro lado
B) $MKK'$ es congruente con $LML'$,
bueno ahora comienza a notar {hay ciertos catetos en comun entre A) y B)} y llegar a la conclusion que en realidad los 4 son congruentes entre si. no tienes que sumar ni restar solo mirar. Suerte!
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

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