Torneo de las Ciudades Marzo 2015 P2 Nivel Juvenil

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Joacoini

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Torneo de las Ciudades Marzo 2015 P2 Nivel Juvenil

Mensaje sin leer por Joacoini » Dom 08 Abr, 2018 12:12 pm

En el plano se tiene un polígono no convexo (su perímetro es un linea cerrada sin entrecruzamientos). Una hormiga recorrido una vez el perímetro de este polígono de modo que en todo momento el polígono quedaba a su derecha. Se tiene en el mismo plano una línea recta que no contiene ningún vértice del polígono ni pasa por el punto de partida de la hormiga, y tiene marcados con negro $36$ puntos distintos. Algunos de estos puntos están dentro del polígono y otros, afuera. Cada vez que la hormiga, durante su recorrido, atraviesa la recta, cuenta la cantidad de puntos negros que están a su izquierda. (La hormiga puede ver siempre los $36$ puntos.) Al completar la vuelta la hormiga ha contado en total $2015$ puntos. Hallar la cantidad de puntos negros que están dentro del polígono. ($6$ Puntos)
NO HAY ANÁLISIS.

BrunZo

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Re: Torneo de las Ciudades Marzo 2015 P2 Nivel Juvenil

Mensaje sin leer por BrunZo » Mar 12 Feb, 2019 6:26 pm

Observación:
Spoiler: mostrar
El problema original trataba acerca de espías, campos minados y cableados eléctricos. Claramente, Argentina prefiere las hormigas.
Solución:
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Notemos que, la línea, que llamaremos $l$, puede dividirse en partes mediante los puntos de intersección con el polígono, que llamaremos $P$. Las partes, alternativamente están en el interior y exterior de $P$. De este modo, podemos dividir a estos puntos de intersección en pares, de modo que cada par sean extremos de un segmento interior a $P$. Más aún, denotamos por $f(P)$ a la cantidad de puntos negros que la hormiga ve desde el punto $P$.

Lema. Sea $(A,B)$ uno de estos pares, de modo que $AB$ contiene $n$ puntos negros. Luego, $f(A)+f(B)=36-n$.
Spoiler: mostrar
Como el polígono siempre esta a su derecha, el segmento $AB$ siempre está a su derecha. Luego, en total, ve los puntos a ambos lados del segmento $AB$, esto es, $f(A)+f(A)=36-n$. El resultado se sigue.
Si aplicamos esto a todos los segmentos interiores, siendo $A_i$ con $0<i\leq 2k$ los puntos de intersección de $l$ y $P$, tenemos
$$2015=\sum f(A_i)=36k-t$$
donde $t$ es la cantidad total de puntos negros en el interior del polígono, o sea, $0<t\leq 36$. De esto se sigue que $k=56$, $t=1$, o sea, hay un único punto negro en el interior

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