Torneo de las Ciudades Marzo 2015 P3 Nivel Juvenil

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Joacoini

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Torneo de las Ciudades Marzo 2015 P3 Nivel Juvenil

Mensaje sin leer por Joacoini » Dom 08 Abr, 2018 12:18 pm

a) Los tres enteros, $x, x^2, x^3$ comienzan con el mismo dígito. Decidir si esto implica que ese dígito es 1. ($3$ Puntos)
b) La misma pregunta que en el inciso a) para los 2015 enteros $x, x^2, x^3,..., x^{2015}$. ($4$ Puntos)
NO HAY ANÁLISIS.

BrunZo

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Re: Torneo de las Ciudades Marzo 2015 P3 Nivel Juvenil

Mensaje sin leer por BrunZo » Mié 13 Feb, 2019 1:20 pm

Parte a:
Spoiler: mostrar
No. $99$, $99^2=9801$, $99^3=970299$
Parte b:
Spoiler: mostrar
Nosotros queremos que, $\forall k\in\mathbb{Z}^+, k\leq 2015$,
$\frac{9}{10}(10^n)^k\leq (10^n-1)^k<(10^n)^k$
La segunda desigualdad ocurre siempre. Para la primera,
$\frac{9}{10}(10^n)^k\leq (10^n-1)^k\iff \sqrt[k]{\frac{9}{10}}\leq \frac{(10^n-1)}{(10^n)}$
Ahora, el lado izquierdo es una progresión: $\frac{9}{10}<\sqrt{\frac{9}{10}}<\sqrt[3]{\frac{9}{10}}<\cdots<\sqrt[k]{\frac{9}{10}}<1$ y el lado derecho puede ser un número tan próximo a $1$ como se desee, siempre se puede hacer que la desigualdad valga para $ k\leq 2015$, como queríamos. Esto es, tampoco se puede.

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