Torneo de las Ciudades Marzo 2015 P1 Nivel Mayor

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Joacoini

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Torneo de las Ciudades Marzo 2015 P1 Nivel Mayor

Mensaje sin leer por Joacoini » Dom 08 Abr, 2018 12:33 pm

a) Los tres enteros, $x, x^2, x^3$ comienzan con el mismo dígito. Decidir si esto implica que ese dígito es 1. ($2$ Puntos)
b) La misma pregunta que en el inciso a) para los 2015 enteros $x, x^2, x^3,..., x^{2015}$. ($3$ Puntos)
Última edición por Joacoini el Lun 09 Abr, 2018 4:07 pm, editado 1 vez en total.
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Fran5

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Re: Torneo de las Ciudades Marzo 2015 P1 Nivel Mayor

Mensaje sin leer por Fran5 » Lun 09 Abr, 2018 12:31 pm

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Veamos que $99999$ cumple.

En efecto, veremos que $9*10^{5j-1} < (99999)^j < 10^{5j}$, para $j = 1, \ldots, 2015$

La segunda desigualdad es trivial.

Para la otra, tenemos que

$99999^j = \sum_{i=0}^{j}\binom{j}{i}(-1)^{(j-i)}10^{5i} = -1 + \sum_{i=1}^{j-2}\binom{j}{i}(-1)^{(j-i)}10^{5i} - j10^{5j-5}+10^{5j}$

Por un lado $- j10^{5j-5}+10^{5j} > 9*10^{5j-1}$ para $j < 9999$

Por otro lado, $ \sum_{i=1}^{j-2}\binom{j}{i}(-1)^{(j-i)}10^{5i} > 0$ puesto que alternadamente sumamos y restamos cosas cada vez más grandes

Luego sumando esas dos desigualdades, y el $-1$, tenemos la segunda desigualdad que necesitabamos.
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Elsa Muray

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Re: Torneo de las Ciudades Marzo 2015 P1 Nivel Mayor

Mensaje sin leer por Elsa Muray » Mar 10 Abr, 2018 8:31 am

La verdad Fran5 que sos una máquina. Por eso acá publico una versión más humana de la tuya para el resto de los mortales.
Spoiler: mostrar

Para el inciso a), con ver que 99 funciona ya nos alcanza para ver que no es cierto.

Para el inciso b) mostraremos que 9999 funciona.
Queremos ver que $9999^{2015}$ empieza con el dígito 9. Una forma muy sencilla es demostrando que $9.10^{5.2015-1} < 9999^{2015} < 10^{2015.5}$

Es trivial ver que $9999 < 10^5$, por lo tanto $9999^{2015} < 10^{5.2015}$

Para demostrar la otra desigualdad, aprovechamos una desigualdad famosa llamada AM GM, donde dice que la media aritmética es siempre mayor o igual a la media geométrica. Por eso nos construimos la siguiente secuencia de números:

$x_{1}=90000=99999-9999$
$x_{2}=100000=99999+1$
.
.
.
$x_{2015}=100000=99999+1$

Por lo tanto tenemos un número que vale $90000=9.10^{4}$ y otros $2014$ números que valen $100000=10^{5}$.

Es fácil ver que la media aritmética es igual a $\frac{x_1 + x_2+ .... + x_2015}{2015}=\frac{2015.99999-9999+2014}{2015}=99999-\frac{9999-2014}{2015}$

Luego tenemos que la media geómetrica es igual a:

$\sqrt[2015]{x_1 . x_2 . ..... . x_2015}= \sqrt[2015]{90000 . 100000 . 100000 . ... . 100000}=n\sqrt[2015]{9.10^{2015.5-1}}$

Planteamos la desigualdad:

$99999 > 99999-\frac{9999-2014}{2015} \geq \sqrt[2015]{9.10^{2015.5-1}}$

Elevando ambos miembros de la igualdad a la $2015$ obtenemos:

$99999^{2015} > 9.10^{2015.5-1}$

Que era lo que se quería probar. Así demostramos que $99999^{2015}$ tendrá como primer dígito un 9.

PD: Hay que generalizarlo para cualquier valor $n$ mayor que $1$ y menor que $2015$, pero planteando la misma desigualdad para cualquier valor $n$ entre los números requeridos no va a presentar ningún problema. Se los dejos como tarea jejeje.


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