a) Los tres enteros, $x, x^2, x^3$ comienzan con el mismo dígito. Decidir si esto implica que ese dígito es 1. ($2$ Puntos)
b) La misma pregunta que en el inciso a) para los 2015 enteros $x, x^2, x^3,..., x^{2015}$. ($3$ Puntos)
Última edición por Joacoini el Lun 09 Abr, 2018 4:07 pm, editado 1 vez en total.
Para el inciso a), con ver que 99 funciona ya nos alcanza para ver que no es cierto.
Para el inciso b) mostraremos que 9999 funciona.
Queremos ver que $9999^{2015}$ empieza con el dígito 9. Una forma muy sencilla es demostrando que $9.10^{5.2015-1} < 9999^{2015} < 10^{2015.5}$
Es trivial ver que $9999 < 10^5$, por lo tanto $9999^{2015} < 10^{5.2015}$
Para demostrar la otra desigualdad, aprovechamos una desigualdad famosa llamada AM GM, donde dice que la media aritmética es siempre mayor o igual a la media geométrica. Por eso nos construimos la siguiente secuencia de números:
Elevando ambos miembros de la igualdad a la $2015$ obtenemos:
$99999^{2015} > 9.10^{2015.5-1}$
Que era lo que se quería probar. Así demostramos que $99999^{2015}$ tendrá como primer dígito un 9.
PD: Hay que generalizarlo para cualquier valor $n$ mayor que $1$ y menor que $2015$, pero planteando la misma desigualdad para cualquier valor $n$ entre los números requeridos no va a presentar ningún problema. Se los dejos como tarea jejeje.
