Torneo de las Ciudades Marzo 2015 P3 Nivel Mayor

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Joacoini

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Torneo de las Ciudades Marzo 2015 P3 Nivel Mayor

Mensaje sin leer por Joacoini » Dom 08 Abr, 2018 12:41 pm

a) En un tablero de $2\times n$ (con $n>2$) hay escrito un número en cada casilla de modo que las sumas en todas las columnas son diferentes. Demostrar que es posible permutar los números del tablero de modo que las sumas en las columnas sigan siendo distintas y las sumas en las filas sean distintas. ($2$ Puntos)
b) En un tablero de $100\times100$ hay escrito un número en cada casilla de modo que las sumas en todas las columnas son diferentes. Determinar si es posible permutar los números del tablero de modo que las sumas en las columnas sigan siendo distintas y las sumas en las filas sean distintas. ($6$ Puntos)
NO HAY ANÁLISIS.

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Gianni De Rico

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Re: Torneo de las Ciudades Marzo 2015 P3 Nivel Mayor

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 31 Ago, 2018 9:50 pm

a)
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Si las sumas de las filas son distintas, estamos. Supongamos que la sumas de las filas son iguales. Si una columna tiene escritos $x$ e $y$ con $x>y$ entonces intercambiándolos una suma crece y la otra decrece, por lo que ahora son distintas. Supongamos entonces que la columna $i$ tiene escrito $a_i$ en sus dos casillas, entonces $i\neq j\Rightarrow a_i\neq a_j$ y podemos ordenar las columnas de forma que $a_1<a_2<\ldots <a_n$. En las primeras $3$ casillas de la fila de arriba escribimos $a_1,a_1,a_2$, y el resto las dejamos como están. En las primeras $3$ casillas de la fila de abajo escribimos $a_2,a_3,a_3$, y el resto las dejamos como están. Si llamamos $S(f_1)$ y $S(f_2)$ a las sumas de la fila de arriba y abajo respectivamente, tenemos $S(f_1)=a_1+a_1+a_2+\sum \limits _{i=4}^n a_i<a_2+a_3+a_3+\sum \limits _{i=4}^n a_i=S(f_2)$, por lo que las sumas de las filas son distintas. Además tenemos que $a_1+a_2<a_1+a_3<a_2+a_3<2a_4<\ldots <2a_n$, pero estas son las sumas de los números de las columnas, y son diferentes. Queda demostrado el problema.
b)
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Pintemos el tablero como sigue, numeramos las columnas de $0$ a $99$ de izquierda a derecha, para $0\leqslant i\leqslant 98$ la columna $i$ tiene escritos $i$ números $1$ y el resto son $0$, la columna $99$ tiene $100$ números $1$.
Supongamos que es posible permutar el tablero de modo que cumpla las condiciones del enunciado. Contamos la suma de los números del tablero de dos formas distintas. Contando por columnas la suma es $c=100+\sum \limits _{i=0}^{98}i$. Contando por filas, como cada fila puede sumar entre $0$ y $100$, y todas son distintas, hay un número $k$ entre $0$ y $100$ que no aparece en la suma, es decir, la suma es $f=-k+\sum \limits _{i=0}^{100}i$. Pero tanto $c$ como $f$ es la suma del tablero, luego, $c=f\Rightarrow 100+\sum \limits _{i=0}^{98}i=-k+\sum \limits _{i=0}^{100}i\Rightarrow 100+\sum \limits _{i=0}^{98}i=-k+99+100+\sum \limits _{i=0}^{98}i\Rightarrow 0=-k+99\Rightarrow k=99$. Como no hay ninguna fila con suma $99$ entonces hay una fila con suma $0$, además, siempre habrá una columna con suma $100$ (por la misma razón). Pero por la forma en la que llenamos el tablero, para que una fila sume $0$ todos los números escritos deben ser $0$, y para que una columna sume $100$, todos los números escritos deben ser $1$; luego, la casilla que pertenece tanto a la fila con suma $0$ como a la columna con suma $100$ debe tener escrito $0$ y $1$. Pero esto es absurdo puesto que $0\neq 1$.
El absurdo provino de suponer que podíamos lograr lo pedido, por lo tanto esto es imposible. Y estamos.
[math]

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