Torneo de las Ciudades Marzo 2015 P4 Nivel Mayor

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Joacoini

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Torneo de las Ciudades Marzo 2015 P4 Nivel Mayor

Mensaje sin leer por Joacoini » Dom 08 Abr, 2018 12:43 pm

Un polígono convexo de $N$ lados iguales está ubicado en el interior de una circunferencia. Se prolonga cada lado en ambas direcciones hasta cortar a la circunferencia en las dos direcciones, y de este modo obtenemos dos segmentos, exteriores al polígono. Demostrar que se puede colorear todos estos nuevos $2N$ segmentos, algunos de rojo y los demás de azul de modo que la suma de las longitudes de todos los segmentos rojos sea igual a la suma de las longitudes de todos los segmentos azules. ($8$ Puntos)
NO HAY ANÁLISIS.

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Fran5

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Re: Torneo de las Ciudades Marzo 2015 P4 Nivel Mayor

Mensaje sin leer por Fran5 » Lun 09 Abr, 2018 12:41 pm

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Sean $v_1, \ldots, v_N$ los vértices del polígono numerados en sentido horario. Sea $l_i = (v_i, v_{i+1})$ el lado formado por esos vérices, de modo que $l_N = (v_N, v_1)$.

Sea $L_i$ la prolongación del segmento $l_i$ en dirección de $v_i$. Del mismo modo, $R_i$ es la prolongación del segmento $l_{i}$ en dirección de $v_{i+1}$. Mirando desde adentro del polígono, tenemos que los segmentos están en orden $L_i, l_i, R_i$ de izquierda a derecha.

Por potencia de un punto, $L_i(l_i+R_i) = R_{i-1}(l_{i-1} + L_{i-1})$. Sumando para $i$ queda

$\sum_{i=1}^N L_il_i + L_iR_i = \sum_{i=0}^{N-1} R_il_i + R_iL_i$.

Recordando que $N \equiv 0$, resulta $R_0l_0 + R_0L_0 = R_Nl_N + R_NL_N$.

Con lo cual

$\sum_{i=1}^N L_il_i + L_iR_i = \sum_{i=0}^{N-1} R_il_i + R_iL_i = \sum_{i=1}^{N} R_il_i + R_iL_i $

Y dinalmente, cancelando.

$\sum L_i = \sum R_i$, que es lo que queríamos
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro // Costa Rica te entro"

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