Torneo de las Ciudades Marzo 2015 P5 Nivel Mayor

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Joacoini

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Torneo de las Ciudades Marzo 2015 P5 Nivel Mayor

Mensaje sin leer por Joacoini » Dom 08 Abr, 2018 12:45 pm

Determinar si existen dos polinomios de coeficientes enteros tales que cada polinomio tiene un coeficiente de valor absoluto mayor que $2015$ pero si se multiplican los dos polinomios, todos los coeficientes de la multiplicación tienen valor absoluto menor o igual que $1$. ($10$ Puntos)
NO HAY ANÁLISIS.

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Gianni De Rico

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Re: Torneo de las Ciudades Marzo 2015 P5 Nivel Mayor

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 01 Sep, 2018 7:26 pm

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Sea $P(x)$ un polinomio de grado $g$ tal que todos sus coeficientes son $0$ o $1$. Si $k>g$ es un entero entonces $Q=(x^k+1)P(x$ también cumple con que todos sus coeficientes son $0$ o $1$, ya que el término de menor grado de $x^kP(x)$ tiene grado al menos $k>g$. Ahora, sea $A(x)=\prod \limits _{i=1}^{2017}(x^{2i-1}+1)$, por lo que dijimos antes, todos los coeficientes de $A(x)$ son $0$ o $1$. Veamos que $(a+b)\mid (a^n+b^n)$ para todos $n$ impar y $a,b\in \mathbb{Z}$, en efecto, tenemos $a+b\equiv 0\pmod{a+b}\Rightarrow a\equiv -b\pmod{a+b}\Rightarrow a^n\equiv -b^n\pmod{a+b}\Rightarrow a^n+b^n\equiv 0\pmod{a+b}$. Por lo tanto tenemos que $B(x)=(x+1)^{2017}$ divide a $A(x)$, puesto que $A(x)$ es el producto de $2017$ términos de la forma $x^{2i-1}+1^{2i-1}$, y cada uno de ellos es divisible por $(x+1)$. Luego podemos escribir $A(x)=B(x)\cdot C(x)$ con $C(x)=x^k+cx^{k-1}+\ldots$, luego, el segundo coeficiente de $A(x)$ es $2017+c$, pero por lo que dijimos antes, el segundo coeficiente de $A(x)$ es $0$ o $1$. Entonces $2017+c=0\Rightarrow c=-2017$ o $2017+c=1\Rightarrow c=-2016$, en cualquier caso $|c|>2015$. Luego, los polinomios $B(x)$ y $C(x)$ cumplen las condiciones del enunciado.
[math]

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