Selectivo de CENTRO - Puerto Rico 2018

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Violeta

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Selectivo de CENTRO - Puerto Rico 2018

Mensaje sin leer por Violeta » Mié 11 Abr, 2018 8:30 pm

Por cuestiones de tiempo, nuestra examen duró un día, dividido en dos exámenes de dos horas cada uno.

Parte I:
1. Hallar todas las soluciones $(a,b)$ sobre los enteros positivos de la ecuación $a^2 - 3\cdot 2^b = 1$

2. Se tienen $5$ enteros $a_1, a_2 ,\ldots, a_5$. Se tiene una permutación $b_1, b_2, \ldots, b_5$ de $a_1, a_2, \ldots , a_5$. Probar que

$$(a_1-b_1)(a_2-b_2)(a_3-b_3)(a_4-b_4)(a_5-b_5)$$

es par.

Parte II:
1. Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. $M$ es el punto de intersección de $AC$ y $BD$ y $K$ es el punto de intersección de la bisectriz de $\angle ACD$ y la prolongación de $AB$. $L$ es donde $KC$ y $BD$ se intersecan.

Si $MA \cdot CD = MB \cdot LD$, probar que $\angle BKC = \angle CDB$

2. Se marcan siete puntos en un círculo y en cada punto se escribe un entero positivo, todos distintos. Luego, todos los puntos se remplazan, simultáneamente, por el mínimo común múltiplo de sus vecinos. Este proceso solo sucede una vez. Si sucede que todos los números son el mismo número $n$, hallar el mínimo valor posible de $n$.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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Gianni De Rico

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Re: Selectivo de CENTRO - Puerto Rico 2018

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 11 Abr, 2018 9:15 pm

Parte I
2
Spoiler: mostrar
Por Palomar, al menos $3$ de $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ tienen la misma paridad. Entonces al menos $3$ de $b_1,b_2,b_3,b_4,b_5$ tienen la misma paridad (que es la misma que la de los originales). Nuevamente por Palomar, en alguno de los factores estamos restando dos enteros de la misma paridad, entonces ese factor es par, y estamos.
Queda Elegantemente Demostrado

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Violeta

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Re: Selectivo de CENTRO - Puerto Rico 2018

Mensaje sin leer por Violeta » Mié 11 Abr, 2018 9:29 pm

Gianni De Rico escribió:
Mié 11 Abr, 2018 9:15 pm
Parte I
2
Spoiler: mostrar
Por Palomar, al menos $3$ de $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ tienen la misma paridad. Entonces al menos $3$ de $b_1,b_2,b_3,b_4,b_5$ tienen la misma paridad (que es la misma que la de los originales). Nuevamente por Palomar, en alguno de los factores estamos restando dos enteros de la misma paridad, entonces ese factor es par, y estamos.
Otra:
Spoiler: mostrar
Asumamos que no. Entonces $a_i - b_i \equiv 1 \pmod{2}$ y sumando las 5 ecuaciones de esta forma, llegamos a que $0 \equiv 5 \pmod{2}$. Absurdo.
1  
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

Matías

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Re: Selectivo de CENTRO - Puerto Rico 2018

Mensaje sin leer por Matías » Dom 15 Abr, 2018 11:51 am

Parte I: 1
Spoiler: mostrar
Tenemos que $a^2-1=3\times 2^b=(a+1)(a-1)$, con $a,b\in N$.
Para que sea $a^2-1$ par debe ser $a$ impar, lo cual implica que $8\mid a^2-1$ ya que $a^2\equiv 1(8)$ si $a$ es impar, entonces $b\geq 3$.
Ahora bien, entre $a+1$ y $a-1$, uno es múltiplo de cuatro y el otro es congruente a $2$ en módulo $4$
-Si $a+1\equiv 2(4)\wedge 4\mid a-1$ entonces $a+1=2\times 3=6\wedge a-1=2^{b-1}\implies a-1=6-2=4\implies a=5\wedge b=3$ o $a+1=2\implies a-1=0$ (absurdo).
-Si $4\mid a+1\wedge a-1\equiv 2(4)$ entonces $a+1=3\times 2^{b-1}\wedge a-1=2\implies 4=3\times 2^{b-1}$ (absurdo) o $a+1=2^{b-1}\wedge a-1=2\times 3=6\implies a+1=8=2^{b-1}\implies a=7\wedge b=4$
Por lo tanto concluimos que los pares que cumplen son $(5,3)$ y $(7,4)$.

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