Selectivo de IMO/IBERO - Puerto Rico - 2018 P1

[Violeta]

En una pizarra, Omar escribe todas las sucesiones aritméticas con diferencia de $2$ con suma de términos de $200$. ¿Cuántas sucesiones escribió Omar?

Nota: Una sucesión aritmética de diferencia $2$ es tal que $a_k=a_0+2k$

[enigma1234]

Cuantos elementos debe tener como mínimo para considerarlo una sucesión de esas?

[Violeta]

Cuantos elementos debe tener como mínimo para considerarlo una sucesión de esas?

Esto se preguntó tantas veces que tuvieron que aclararlo en voz alta durante la prueba: 2.

[Joacoini]

Alguna restricción para $a_0$? Puede ser negativo o no entero?

[Gianni De Rico]

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Sea $S_n$ la suma de los términos de una progresión aritmética de $n$ términos, tenemos $S_n=\frac{n(a_0+a_{n-1})}{2}$ como $S_n=200$ y la progresión tiene diferencia $2$, resulta $200=\frac{n(a_0+a_0+2n-2)}{2}=n(a_0+n-1)\Rightarrow a_0=\frac{200}{n}-n+1$. Si $a_0$ es entero, entonces $n$ es un divisor de $200$ y además $n>1$.

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$n=2\Rightarrow a_0=99$
$n=4\Rightarrow a_0=47$
$n=5\Rightarrow a_0=36$
$n=8\Rightarrow a_0=18$
$n=10\Rightarrow a_0=11$
$n=20\Rightarrow a_0=-9$
$n=25\Rightarrow a_0=-16$
$n=40\Rightarrow a_0=-34$
$n=50\Rightarrow a_0=-45$
$n=100\Rightarrow a_0=-97$
$n=200\Rightarrow a_0=-198$

Entonces para $a_0$ entero no negativo hay $5$ sucesiones, y para $a_0$ entero hay $11$ sucesiones.

Si $a_0\in \mathbb{R}$, entonces hay infinitos valores posibles para $n$, y por lo tanto hay infinitas sucesiones.

Si $a_0\in \mathbb{R}^+$

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Tenemos $0<\frac{200}{n}-n+1\Rightarrow 0<-n^2+n+200$. Esta parábola es cóncava hacia abajo, luego, sólo se satisface la ecuación para los $n$ comprendidos entre sus raíces, que son $\frac{1\pm 3\sqrt{89}}{2}$. Tenemos $\sqrt{89}>\sqrt{81}=9\Rightarrow -3\sqrt{89}<-27\Rightarrow \frac{1-3\sqrt{89}}{2}<-13$, luego, la ecuación sólo se satisface para los enteros entre $2$ y $\frac{1+3\sqrt{89}}{2}$. Tenemos $\sqrt{89}<\sqrt{100}=10\Rightarrow \frac{1+3\sqrt{89}}{2}<\frac{1+3\cdot 10}{2}=\frac{31}{2}<\frac{32}{2}=16$. Vemos además que $n=15$ no cumple, pero $n=14$ sí lo hace. Entonces la ecuación se satisface para todos los $n$ enteros entre $2$ y $14$ inclusive, es decir para $13$ valores.

Entonces si $a_0\in \mathbb{R}^+$ hay $13$ sucesiones.