Intercolegial 2018 N2 P2

[Matías V5]

Uniendo cubitos de arista $1$ se armó un cubo grande, sin huecos. Decimos que dos cubitos son vecinos si comparten una cara. Así, un cubito puede tener hasta $6$ vecinos. Se sabe que la cantidad de cubitos que tienen exactamente $4$ vecinos es igual a $132$. Calcular la cantidad de cubitos que tienen exactamente $5$ vecinos.

[Joacoini]

Generalización.

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Cambiamos $132$ por $12n$ en el enunciado con $n$ entero mayor o igual a cero.
Sea $V_x$ la cantidad de cubitos con $x$ vecinos que hay en el cubo.
Notemos que los únicos cubitos con $4$ vecinos son los que componen las aristas (excluyendo los vértices) y que los únicos cubitos con $5$ vecinos son los que componen las caras del cubo (excluyendo las aristas).
Sea $A$ la cantidad de cubitos que conforman un vértice, $A-2$ es la cantidad de cubitos de $4$ vecinos que hay en una arista. Como el cubo tiene $12$ aristas, $12(A-2)=V_4=12n$ de donde sale que $A=n+2$.
Como la cara del cubo es un cuadrado de lado $n+2$ y como los cubitos con $5$ vecinos son la cara del cubo sacándole las aristas, los cubitos de $5$ vecinos forman un cuadrado de lado $n$ en la cara, entonces en una cara hay $n^2$ cubitos de $5$ vecinos y como un cubo tiene $6$ caras $V_5=6n^2$

[RESCATEMATEMATICO]

https://youtu.be/2WlbMuMTPEM