Intercolegial 2018 N2 P3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Matías V5

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Intercolegial 2018 N2 P3

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Sea $ABCD$ un paralelogramo con $AB = CD = 34$, $BC = DA = 51$ y $B \widehat{A} D = 60^{\circ}$. La bisectriz del ángulo $B \widehat{A} D$ corta al lado $BC$ en $E$ y $DE$ es perpendicular a $BC$. Calcular el área del paralelogramo $ABCD$.
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Matías V5

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Re: Intercolegial 2018 N2 P3

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Pista 1:
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El área de un paralelogramo se puede calcular multiplicando base por altura.
Pista 2:
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En este caso se puede tomar como base al lado $AD$, que sabemos cuánto mide, y como altura al segmento $DE$, que el enunciado nos dice que es perpendicular. Por lo tanto para resolver el problema alcanza con calcular la longitud de $DE$.
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Gianni De Rico

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Re: Intercolegial 2018 N2 P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

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Sea $G$ el pie de la perpendicular desde $D$ a $AB$, como $G\widehat AD=60^\circ$ tenemos que $\triangle ADG$ es medio equilátero, y así $DG=\frac{\sqrt{3}}{2}AD=\frac{51\sqrt{3}}{2}$.
Por lo tanto, $[ABCD]=\frac{51\cdot 34\sqrt{3}}{2}=51\cdot 17\sqrt{3}$.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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Mazzo

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Re: Intercolegial 2018 N2 P3

Mensaje sin leer por Mazzo »

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$Área(ABCD)=Área(ABD)+Área(BCD)$. Y como $Área(ABD)=Área(BCD)=\frac{1}{2}.34.51.sen(60º)=\frac{1}{2}.34.51.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1734}{4}\sqrt{3}$, entonces $Área(ABCD)=2\frac{1734}{4}\sqrt{3}=\frac{1734}{2}\sqrt{3}=867\sqrt{3}$
JulianCalleja
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Re: Intercolegial 2018 N2 P3

Mensaje sin leer por JulianCalleja »

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Si ED es perpendicular a AD, el anguel DEC es de 90º, y el angulo de ECD=angulo BAD=60º. Sen 60º=ED/34, por lo que ED=Sen 60º*34=√3/2*34=17*√3. entonces hacemos AD*ED=51*17√3=867√3
RESCATEMATEMATICO
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Re: Intercolegial 2018 N2 P3

Mensaje sin leer por RESCATEMATEMATICO »

MathIQ

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Re: Intercolegial 2018 N2 P3

Mensaje sin leer por MathIQ »

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Como $AE$ es bisectriz de $B\widehat{A}D$ entonces $D\widehat{A}E = E\widehat{A}B = x$, como $AD\parallel BC$ por ángulos correspondientes entre paralelas se tiene $D\widehat{A}E = A\widehat{E}B = x$, entonces $ABE$ es un triángulo isósceles con $AB = EB = 34$. Cómo $BC = 51$, se tiene $EC = BC = EB = 51 - 34 = 17$.
Como $DE\perp BC$, entonces $D\widehat{E}B = D\widehat{E}C = 90°$. Por Pitágoras en el triángulo rectángulo $DEC$, se tiene $DE = \sqrt{867}$. Por último el área del paralelogramo $ABCD$ será de $51\sqrt{867} = 867\sqrt{3}$.
:D
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