Intercolegial 2018 N3 P2

Avatar de Usuario
Matías V5

Colaborador OFO - Jurado FOFO 6 años - Jurado
Mensajes: 884
Registrado: Dom 17 Oct, 2010 4:44 pm
Medallas: 6
Nivel: Exolímpico

Intercolegial 2018 N3 P2

Mensaje sin leer por Matías V5 » Vie 25 May, 2018 11:19 am

El entero positivo $n$ tiene $90$ dígitos todos distintos de $0$ y cada uno de ellos aparece $10$ veces. Se forman dos nuevos números $a$ y $b$: $a$ agregando el dígito $1$ al comienzo de $n$ y $b$ agregando el dígito $1$ al final de $n$. Luego se calcula $m = \dfrac{b-a}{9}$. Hallar la suma de los dígitos de $m$.
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

Avatar de Usuario
Matías V5

Colaborador OFO - Jurado FOFO 6 años - Jurado
Mensajes: 884
Registrado: Dom 17 Oct, 2010 4:44 pm
Medallas: 6
Nivel: Exolímpico

Re: Intercolegial 2018 N3 P2

Mensaje sin leer por Matías V5 » Vie 25 May, 2018 11:30 am

Pista 1:
Spoiler: mostrar
Intentá ver cómo se pueden escribir $a$ y $b$ en función de $n$.
Pista 2:
Spoiler: mostrar
Por ejemplo, si $b$ fuera agregar un $0$ al final de $n$ podríamos decir que $b=10n$. Como en vez de agregar un $0$ se agrega un $1$, ¿cuál es la relación entre $b$ y $n$? ¿Y con $a$ qué pasa?
Pista 3:
Spoiler: mostrar
El número $10^{90} - 1$ es $999 \ldots 99$ con $90$ dígitos $9$. Entonces, al dividirlo por $9$ queda el número $111 \ldots 11$, con $90$ dígitos $1$.
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

Avatar de Usuario
Mazzo

OFO - Medalla de Bronce
Mensajes: 16
Registrado: Jue 27 Ene, 2011 12:50 pm
Medallas: 1
Nivel: 2

Re: Intercolegial 2018 N3 P2

Mensaje sin leer por Mazzo » Vie 25 May, 2018 1:38 pm

Spoiler: mostrar
Sea $X$ nuestro número de 90 dígitos y $S(n)$ la suma de los dígitos de $n$. Está claro que $S(X)=10.(1+2+...+9)=450$ y que $S(\underbrace{1 \cdots 1}_{N \text{ veces}})=N$. Por otro lado, sean $a=10^{90}+X$ y $b=10X+1$. Por lo tanto, $m=\frac{b-a}{9}=\frac{(10X+1)-(10^{90}+X)}{9}=\frac{9X-(10^{90}-1)}{9}=\frac{9X-(\underbrace{9 \cdots 9}_{90 \text{ veces}})}{9}=X-\underbrace{1 \cdots 1}_{90 \text{ veces}}$. Y como todos los dígitos de $X$ son distintos de cero, se tiene que $S(m)=S(X)-S(\underbrace{1 \cdots 1}_{90 \text{ veces}})=450-90=360$

hoyken
Mensajes: 1
Registrado: Vie 14 Abr, 2017 1:13 am
Nivel: 2

Re: Intercolegial 2018 N3 P2

Mensaje sin leer por hoyken » Vie 25 May, 2018 2:30 pm

llegue a un resultado pero no tengo demostración
Spoiler: mostrar
Tomando un caso menor , Ejemplo que los dígitos se repitan solo 1 veces , es decir tenemos en N = 123456789
A = 1123456789
B = 1234567891

Ahora si hacemos $\frac{B-A}{9}$

Si realizamos el calculo vemos que nos da 123454678 su sumatoria sera 36
Luego si esto se cumple para N de 90 dígitos , tenemos como resultado 1x10 + 2x10 ... 8x10 = 360


RESCATEMATEMATICO
Mensajes: 14
Registrado: Vie 24 Abr, 2015 8:03 pm
Nivel: Exolímpico

Re: Intercolegial 2018 N3 P2

Mensaje sin leer por RESCATEMATEMATICO » Vie 15 Jun, 2018 2:35 am


Responder