Intercolegial 2018 N3 P3

[Matías V5]

En el cuadrado $ABCD$ sea $E$ en el lado $BC$ tal que $EC = 2BE$. La recta por $A$ y $E$ corta a la recta que contiene al lado $CD$ en $F$. Si $\mathrm{área}(ABEFD)=60$, calcular el área del cuadrado $ABCD$.

[macayaki]

Por semejanza sale re facil...

[Gianni De Rico]

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Tenemos $A\widehat EB=C\widehat EF$ por ser opuestos por el vértice y $A\widehat BE=90^\circ =F\widehat CE$, luego $\triangle FCE\simeq \triangle ABE\Rightarrow \frac{CF}{AB}=\frac{CE}{BE}=\frac{2BE}{BE}=2\Rightarrow CF=2AB$.
Notemos que $BC=BE+EC=BE+2BE=3BE\Rightarrow BE\frac{1}{3}BC\Rightarrow CE=\frac{2}{3}BC$.
Llamemos $\ell$ al lado del cuadrado (es decir $AB=BC=CD=DA=\ell$), entonces nos queda $CF=2\ell$ y $CE=\frac{2}{3}\ell$, luego $[CEF]=\frac{1}{2}\times CE\times CF=\frac{1}{2}\times 2\ell \times \frac{2}{3}\ell =\frac{2}{3}\ell ^2$ y $[ABCD]=\ell ^2$. Entonces $60=[ABEFD]=[ABCD]+[CEF]=\ell ^2+\frac{2}{3}\ell ^2=\frac{5}{3}\ell ^2$, luego, $[ABCD]=\ell ^2=\frac{60\times 3}{5}=36$.

[@Euclides207.com]

Por semejanza sale re facil...

[RESCATEMATEMATICO]

https://youtu.be/faLovpvNPoQ

[drynshock]

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Como dijeron, por semejanza sale re fácil:

El triangulo ABE es semejante al triangulo ECF, esto se saca porque ABE es 90°, ECF es 90°. ABE y CEF son iguales por opuestos por el vértice. O también se puede hacer que BAE = EFC por ángulos entre paralelas.

Luego vemos que CE = 2BE por lo que la razón entre estos dos triángulos es de 2. Por lo tanto, como ABCD es un cuadrado, AB = 3BE y por esto de la razón: CF = 6BE.

Para calcular el área hacemos por separado el área del triangulo ECF y la del cuadrado ABCD:

$(3BE)^2 + \frac{6BE.2BE}{2} = 60$
$9.BE^2 + 6.BE^2 = 60$
$15.BE^2 = 60$
$BE^2 = 4$

Como nos interesa el área del cuadrado solamente multiplicamos por 9:
$9.BE^2 = 36$
$(3BE)^2 = 36$

El área de ABCD es 36