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Sea $P(x)=x^3+mx+n$ un polinomio de coeficientes enteros tal que si $x$ e $y$ son enteros y $P(x)-P(y)$ es divisible por $107$ entonces $x-y$ es divisible por $107$. Demostrar que $107$ divide a $m$.

Solución:

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Supongamos que $m$ no es divisible por $107$. Luego, queremos demostrar que existen $x$ e $y$ distintos módulo $107$ tales que $107 \mid P(x) - P(y) = x^3 +mx - y^3 - my = (x-y)(x^2+y^2+xy+m)$. Como $107$ es primo, tenemos entonces que $107 \mid x^2+y^2+xy+m$. Reemplazando ahora $y=kx$, el problema equivale a ver que $x^2+kx^2+k^2x^2 = x^2(k^2+k+1)$ recorre todos los restos no nulos módulo $107$ para $k$ distinto de $1$ y $x$ distinto de $0$.

Pero notemos que si $k=0$, $k^2+k+1=1$ y al variar $x$, $x^2(k^2+k+1)$ recorre todos los residuos cuadráticos módulo $107$.

Notemos además que $107$ es un primo congruente a $-1$ módulo $4$. Luego, es conocido que $-1$ no es residuo cuadrático módulo $107$, y como $16$ es residuo cuadrático módulo $107$, $-16$ es un residuo no cuadrático.

Tomando entonces $k=9$, obtenemos que $k^2+k+1=91$, que es $-16$ módulo $107$. Luego, si $k=9$, al variar $x$, $x^2(k^2+k+1)$ recorre todos los residuos no cuadráticos módulo $107$ y estamos.