Selectivo de Ibero 2018 - Problema 5

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Luli97

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Selectivo de Ibero 2018 - Problema 5

Mensaje sin leer por Luli97 » Vie 03 Ago, 2018 5:07 pm

Se tiene un tablero cuadrado de $n \times n$, con $n>1$, dividido en $n^2$ casillas unitarias. Algunos lados de casillas unitarias se pintan de rojo de modo que cada casilla del tablero tenga exactamente un lado rojo. Para cada $n$
$a)$ hallar la menor cantidad de lados rojos que puede tener el tablero;
$b)$ hallar la mayor cantidad de lados rojos que puede tener el tablero.

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Joacoini

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Re: Selectivo de Ibero 2018 - Problema 5

Mensaje sin leer por Joacoini » Vie 03 Ago, 2018 6:20 pm

a)
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Como cada lado pintado puede completar a dos casillas como mucho, si $l$ es la cantidad de lados pintados $n^2\leq 2l\Rightarrow \frac{n^2}{2}\leq l$.
Para $n$ par un ejemplo con $\frac{n^2}{2}$ es pintar las columnas pares, para $n$ impar un ejemplo con $\left \lceil \frac{n^2}{2} \right \rceil$ es pintar las columnas pares menos la de más a la derecha y pintar el lado que está en el extremo derecho de las filas pares.
Con filas y columnas pares me refiero a los segmentos y no a las agrupaciones de casillas.
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Gianni De Rico

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Re: Selectivo de Ibero 2018 - Problema 5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 03 Ago, 2018 7:16 pm

b)
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Una cota es $\left \lfloor \frac{n^2}{2}\right \rfloor +2(n-1)$.
Consideramos cada casilla por separado, entonces podemos tener a lo sumo $n^2$ lados rojos. Los lados que quedan sobre el borde del tablero los estamos contando una vez, los que quedan adentro los estamos contando dos veces; como sobre el borde del tablero podemos poner a lo sumo $4(n-1)$ lados rojos (ya que tenemos que quitar al menos un lado rojo de cada esquina, el tablero tiene $4$ esquinas y $4$ lados de longitud $n$), resulta que a lo sumo podemos poner $\left \lfloor \frac{n^2}{2}\right \rfloor +2(n-1)$ lados rojos para $n>1$.
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Gianni De Rico

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Re: Selectivo de Ibero 2018 - Problema 5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 03 Ago, 2018 8:56 pm

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Para $n$ par el máximo es alcanzable, y la cuenta que hicimos nos da la idea de cómo construirlo. Subo ejemplos para $n=4$ y $n=6$
Selectivo Ibero 2018 P5 - n=4.png
Selectivo Ibero 2018 P5 - n=6.png
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Gianni De Rico

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Re: Selectivo de Ibero 2018 - Problema 5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 03 Ago, 2018 9:17 pm

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Para $n$ impar es más complicado, pero también se puede alcanzar el máximo. Dejo ejemplos de $n=3$, $n=5$, $n=7$ y $n=9$
Selectivo Ibero 2018 P5 - n=3.png
Selectivo Ibero 2018 P5 - n=5.png
Selectivo Ibero 2018 P5 - n=7.png
Selectivo Ibero 2018 P5 - n=9.png
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