Selectivo de Ibero 2018 - Problema 6

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Luli97

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Selectivo de Ibero 2018 - Problema 6

Mensaje sin leer por Luli97 » Vie 03 Ago, 2018 5:13 pm

Hallar todas las funciones $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tales que para todo entero positivo $m$ se verifica lo siguiente:
Si $1=d_1<d_2< ... <d_k=m$ son todos los divisores positivos de $m$, entonces
$f(d_1) f(d_2) ... f(d_k)=m$.

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Joacoini

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Re: Selectivo de Ibero 2018 - Problema 6

Mensaje sin leer por Joacoini » Vie 03 Ago, 2018 5:16 pm

Spoiler: mostrar
$m=1\Rightarrow f(1)=1$

Sea $p$ un primo $m=p\Rightarrow f(1)f(p)=p\Rightarrow f(p)=p$

Supongamos que $f(p^i)=p$ para cada $0<i\leq n$
$m=p^{n+1}\Rightarrow f(1)f(p)f(p^2)...f(p^n)f(p^{n+1})=p^{n+1}=p^nf(p^{n+1})\Rightarrow f(p^{n+1})=p$
Queda demostrado por inducción que $f(p^n)=p$ con $0<n$.

Sea $r$ un natural, $p_{1}^{a_1}p_{2}^{a_2}...p_{q}^{a_q}$ su factorización y $1=d_1<d_2<...<d_k=r$ sus divisores.

Llamamos $x=\frac{f(d_1)f(d_2)...f(d_k)}{f(1)f(p_{1})f(p_{1}^{2})...f(p_{1}^{a_1})f(p_{2})...f(p_{q}^{a_q})}$

$m=r\Rightarrow f(1)f(p_{1})f(p_{1}^{2})...f(p_{1}^{a_1})f(p_{2})...f(p_{q}^{a_q})x=r=p_{1}^{a_1}p_{2}^{a_2}...p_{q}^{a_q}x=rx\Rightarrow 1=x$
Como los factores de $x$ son números naturales cada uno de ellos es igual a $1$.
Para demostrar que la función de un $t\neq p^n$ es igual a $1$ basta elegir un $r$ tal que $t$ lo divida.

En conclusión $f(p^n)=p$ con $0<n$ y $p$ primo y $f(n)=1$ para los demas 😉
Última edición por Joacoini el Vie 03 Ago, 2018 7:40 pm, editado 2 veces en total.
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Matías V5

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Re: Selectivo de Ibero 2018 - Problema 6

Mensaje sin leer por Matías V5 » Vie 03 Ago, 2018 5:20 pm

Joacoini escribió:
Vie 03 Ago, 2018 5:16 pm
Spoiler: mostrar
En conclusión $f(p^n)=p$ con $0<n$ y $p$ primo y $f(n)=1$ para los compuestos y el $1$
OK Joaco, pero "compuestos" son todos los números que no son primos ni 1, por ejemplo $3^5$ es un número compuesto también.
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

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Joacoini

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Re: Selectivo de Ibero 2018 - Problema 6

Mensaje sin leer por Joacoini » Vie 03 Ago, 2018 5:21 pm

Ahí lo editó 👌
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