Ibero 2004 - P6

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Gianni De Rico

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Ibero 2004 - P6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 04 Ago, 2018 10:41 pm

Dado un conjunto $\mathcal{H}$ de puntos en el plano, $P$ es un punto de intersección de $\mathcal{H}$ si existen $4$ puntos distintos $A,B,C,D$ en $\mathcal{H}$ tales que las rectas $AB$ y $CD$ son distintas y se cortan en $P$.
Dado un conjunto finito $\mathcal{A}_0$ de puntos en el plano, se define la secuencia de conjuntos $\mathcal{A}_i$ como sigue:
Para cada $i\geqslant 0$, el conjunto $\mathcal{A}_{i+1}$ es la unión del conjunto $\mathcal{A}_i$ con los puntos de intersección de $\mathcal{A}_i$.
Demostrar que si todos los $\mathcal{A}_i$ son finitos, entonces $\mathcal{A}_i=\mathcal{A}_1$ para todo $i\geqslant 1$.
[math]

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Matías V5

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Re: Ibero 2004 - P6

Mensaje sin leer por Matías V5 » Lun 06 Ago, 2018 6:21 pm

Hola!
El enunciado está mal (obvio que si $\mathcal{A}_0$ es finito entonces todos los $\mathcal{A}_i$ van a ser finitos, así que la hipótesis no tiene mucho sentido). Lo que corresponde es "si la unión de todos los conjuntos de la sucesión es un conjunto finito", ...
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

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Gianni De Rico

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Re: Ibero 2004 - P6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 06 Ago, 2018 6:59 pm

Perdón, cosas que pasan cuando hay que traducir al español un enunciado que previamente se tradujo del español al inglés. (Por alguna razón no me aparece el botón para editar el enunciado)
[math]

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Violeta

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Re: Ibero 2004 - P6

Mensaje sin leer por Violeta » Jue 09 Ago, 2018 7:21 pm

A menos que este entendiendo mal,
Spoiler: mostrar
Si $A_1$ esta compuesta de los vertices de un cuadrado (no tiene que ser un cuadrado, cualquier paralelogramo basta), entonces todo $A_i$ $i\geq 2$ seria los vertices del paralelogramo mas la interseccion de las diagonales y es obvio que la union de todos los $A_i$ es finita, pero los $A_i$ son solo iguales para $i \geq 2$.
Edit: Olvidaloooo. No vi que los $A_i$ comenzaban con $A_0$. Algo me dice que el que hizo el problema es programador :roll:
Última edición por Violeta el Jue 09 Ago, 2018 7:41 pm, editado 1 vez en total.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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Gianni De Rico

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Re: Ibero 2004 - P6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 09 Ago, 2018 7:29 pm

¿Cómo definís $A_0$?
Fijate que el enunciado dice que el primer conjunto es $A_0$, y de ahí se generan los demás, creo que lo que vos definís como $A_1$ en realidad debería ser $A_0$
1  
[math]

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Violeta

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Re: Ibero 2004 - P6

Mensaje sin leer por Violeta » Vie 10 Ago, 2018 10:12 am

Ahora sí,
Spoiler: mostrar
Para que el enunciado cumpla, tiene que existir un índice $j$, tal que $A_j = A_{j+1} = \ldots$

Asumamos que en $A_j$ hay cuatro puntos $A,B,C,P$, tal que $P$ está dentro del triángulo $ABC$. De todos los triángulos con un punto adentro, consideremos el de menor área, digamos $ABC$ y $P$ el punto adentro. Sea $A'$ la intersección de $AP$ y $BC$. Definamos que $B'$ y $C'$ análogamente. Entonces, $A', B', C'$ están en $A_j$, pero también, $A'B'C'$ es un triángulo con un punto adentro ($P$) y menor área que $ABC$, contradiciendo la minimalidad de $ABC$. Entonces, no hay tres puntos con un punto adentro.

Ahora, asumamos que hay cuatro puntos $ABCD$ tales que ninguno está dentro del triángulo compuesto por los otros tres y $ABCD$ no es un paralelogramo, digamos sin pérdida de generalidad que $BC$ no es paralela a $AD$ y se intersecan en $P$. Digamos que $AC$ y $BD$ se intersecan en $Q$. Pero entonces o bien $ABP$ es un triángulo con un punto adentro ($Q$) o bien es $CDP$. Absurdo.

Entonces, todos los cuadriláteros en $A_j$ son paralelogramos. Digamos que hay uno, $ABCD$, cuyas diagonales se intersecan en $P$. Vemos que si hubiera cualquier otro punto en $A_j$, habría una de las dos situaciones de arriba. Y entonces, $A_j$ simplemente está compuesto de los cuatro vertices y la intersección de las diagonales.

Eso implica que $A_0$ es o el conjunto de los cuatro vértices del paralelogramo o es el conjunto de los cuatro vértices MÁS la intersección de las diagonales. En cualquier caso, eso implica que $A_i = A_1$, para todo $i \geq 1$.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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