Provincial 2018 - Nivel 3 - Problema 2

[Monazo]

Una sucesión: $a_1,a_2,a_3,\dots,a_n,\dots$ de enteros positivos es tal que:
$\bullet$ Cada número es mayor que el anterior, o sea, $a_1<a_2<a_3<\dots<a_n<\dots$
$\bullet$ $a_{2n}=a_n+n$, para todo $n=1,2,\dots$ .
Si el número $a_{2018}$ es igual al menor primo mayor que 2018, determinar $n$ tal que la suma de los primeros $n$ términos sea igual a $6060$, o sea, tal que $a_1+a_2+\dots+a_n=6060$

[jujumas]

Solución:

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Sea $b_n=a_n-n$ para todo $n$, notemos que si $b_i > b_{i+1}$, $a_i-i>a_{i+1}-(i+1)$, por lo que $a_i+1>a_{i+1}$ y $a_i \geq a_{i+1}$- Absurdo. Luego, $b_1 \leq b_2 \leq \ldots \leq b_n \leq \ldots$. Además, como $a_{2n}=a_n+n$, tenemos que $b_{2n}+2n=b_n+n+n$, por lo que $b_{2n}=b_n$, por lo que $b_1=b_2=\ldots=b_{2048}$, y como $b_n$ no decrece, $b_n$ es constante y $a_n$ es una lineal de pendiente $1$. Luego, como $a_{2018}=2027$, $a_n=n+9$ para todo $n$, y es facil calcular con sumatorias que el $n$ buscado es $101$.

[Gianni De Rico]

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De la condición $a_{2n}=a_n+n$ sale que entre $a_n$ y $a_{2n}$ incluidos (es decir, $n+1$ términos consecutivos de la sucesión) hay exactamente $n+1$ enteros consecutivos. Como todos los términos de la sucesión son enteros y ésta es estrictamente creciente, concluimos que todos los términos entre $a_n$ y $a_{2n}$ son enteros consecutivos. Luego, la sucesión está enteramente formada por enteros consecutivos. Como $a_{2018}=2027$ entonces $a_1=10$ y $a_n=n+9$, por lo tanto tenemos que $\frac{n(n+19)}{2}=6060\Rightarrow n=101$, donde el resultado se obtiene con la resolvente. QED.

[Nowhereman]

Pregunto...

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Es valido usar el principio de induccion fuerte para un problema de este tipo?

[Gianni De Rico]

Depende ¿Cómo sería tu inducción acá?

[Turko Arias]

Bastante fuerte