Provincial 2018 - Nivel 3 - Problema 2

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Monazo

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Provincial 2018 - Nivel 3 - Problema 2

Mensaje sin leer por Monazo »

Una sucesión: $a_1,a_2,a_3,\dots,a_n,\dots$ de enteros positivos es tal que:
  • Cada número es mayor que el anterior, o sea, $a_1<a_2<a_3<\dots<a_n<\dots$
  • $a_{2n}=a_n+n$, para todo $n=1,2,\dots$ .
Si el número $a_{2018}$ es igual al menor primo mayor que $2018$, determinar $n$ tal que la suma de los primeros $n$ términos sea igual a $6060$, o sea, tal que $a_1+a_2+\dots+a_n=6060$
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jujumas

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Re: Provincial 2018 - Nivel 3 - Problema 2

Mensaje sin leer por jujumas »

Solución:
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Sea $b_n=a_n-n$ para todo $n$, notemos que si $b_i > b_{i+1}$, $a_i-i>a_{i+1}-(i+1)$, por lo que $a_i+1>a_{i+1}$ y $a_i \geq a_{i+1}$- Absurdo. Luego, $b_1 \leq b_2 \leq \ldots \leq b_n \leq \ldots$. Además, como $a_{2n}=a_n+n$, tenemos que $b_{2n}+2n=b_n+n+n$, por lo que $b_{2n}=b_n$, por lo que $b_1=b_2=\ldots=b_{2048}$, y como $b_n$ no decrece, $b_n$ es constante y $a_n$ es una lineal de pendiente $1$. Luego, como $a_{2018}=2027$, $a_n=n+9$ para todo $n$, y es facil calcular con sumatorias que el $n$ buscado es $101$.
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Gianni De Rico

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Re: Provincial 2018 - Nivel 3 - Problema 2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

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De la condición $a_{2n}=a_n+n$ sale que entre $a_n$ y $a_{2n}$ incluidos (es decir, $n+1$ términos consecutivos de la sucesión) hay exactamente $n+1$ enteros consecutivos. Como todos los términos de la sucesión son enteros y ésta es estrictamente creciente, concluimos que todos los términos entre $a_n$ y $a_{2n}$ son enteros consecutivos. Luego, la sucesión está enteramente formada por enteros consecutivos. Como $a_{2018}=2027$ entonces $a_1=10$ y $a_n=n+9$, por lo tanto tenemos que $\frac{n(n+19)}{2}=6060\Rightarrow n=101$, donde el resultado se obtiene con la resolvente. QED.
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Re: Provincial 2018 - Nivel 3 - Problema 2

Mensaje sin leer por Nowhereman »

Pregunto...
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Es valido usar el principio de induccion fuerte para un problema de este tipo?
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Gianni De Rico

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Re: Provincial 2018 - Nivel 3 - Problema 2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Depende ¿Cómo sería tu inducción acá?
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Turko Arias

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Re: Provincial 2018 - Nivel 3 - Problema 2

Mensaje sin leer por Turko Arias »

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Re: Provincial 2018 - Nivel 3 - Problema 2

Mensaje sin leer por Nowhereman »

Gianni De Rico escribió: Lun 04 Feb, 2019 9:28 pm Depende ¿Cómo sería tu inducción acá?
Con induccion fuerte me refiero a suponer que la suscecion verifica para todos los k<n, y si verifica para k igual a n entonces verifica para todos los naturales, no recuerdo bien la hipotesis, pero mi pregunta era mas general... se puede usar el principio de induccion fuerte en OMA?
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Re: Provincial 2018 - Nivel 3 - Problema 2

Mensaje sin leer por Nowhereman »

Gianni De Rico escribió: Lun 04 Feb, 2019 9:28 pm Depende ¿Cómo sería tu inducción acá?
Tenian entendido que muchos teoremas no son "elementales" por asi decirlo, no se como estara vista la induccion fuerte.
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Gianni De Rico

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Re: Provincial 2018 - Nivel 3 - Problema 2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Yo vi muchas veces la inducción fuerte en OMA, y no veo por qué no se puede usar en un Provincial.
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Lean

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Re: Provincial 2018 - Nivel 3 - Problema 2

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$a_1=x, a_{2*1}=a_1+1=x+1, a_3=x+1+y, a_4=x+1+2=x+3$.
Como $a_1<a_2<a_3<...<a_n<...$, $a_2=x+1, a_4+x+3 \Rightarrow a_3=x+2$. Ya que el unico entero entre $x+1$ y $x+3$ es $x+2$.
$a_5=x+3+a, a_6=x+2+3=x+5 \Rightarrow a_5=x+4$.

De esta manera, obtenemos una sucesion de numeros consecutivos que comienzan a partir de $x$.
Sabemos que $110*111/2=6105$ y que $109*110/2=5995$.
Necesitamos una sucesion de numeros consecutivos desde el $1$, $S$, tal que $6105-S=6060$.
La suma de Gauss $9*10/2=45$. Como $6105-45=6060$, lo tendriamos.

Entonces de la posicion $110$ restamos $9$ posiciones. $n=101$.
"El mejor número es el 73".
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