Mensaje sin leer
por Monazo » Mar 20 Nov, 2018 9:54 am
Aprovecho este problema para "reflejar" la idea de como explotar la información de los puntos medios.
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Voy a explicar dos soluciones distintas pero parten de la misma idea que es la simetría central. La idea justamente es que al hallar el simétrico con respecto a un punto medio, nos estaremos construyendo un paralelogramo, dado que las diagonales del paralelogramo se cortan siempre en su punto medio. Esta construcción auxiliar suele ser muy útil en muchos problemas y este es justamente el caso.
Solucion 1
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Captura de pantalla 2018-11-20 a la(s) 15.36.50.png
Sea $P'$ el simétrico de $P$ con respecto a $M$. Por propiedades de simetría tenemos que $PM=P'M$, y por enunciado $DM=MC$, por lo que los segmentos $DC$ y $PP'$ se cortan en su punto medio y obtenemos así un paralelogramo con $PD || P'C$ y $PC || P'D$. LLamamos $N'$ a la intersección de las rectas $P'C$ y $AD$. Dado que $AD || NC$ y $DN || N'C$, entonces $NCN'D$ es paralelogramo y $DN'=NC=\frac{1}{2}BC$.
Aprovechando que $DN || N'C$, por teorema de Thales tenemos que:
$\frac{AP}{PP'}=\frac{AD}{DN'}$ y ahora sabiendo que $PP'=2.PM$ y $DN'=NC=\frac{1}{2}BC$ obtenemos que:
$\frac{AP}{2.PM}=\frac{AD}{\frac{BC}{2}}$
$\frac{4}{3}=\frac{BC}{AD}$
$Nota:$ Fijense que $N'$ es el simétrico de $N$ con respecto al punto medio $M$. Podríamos haber definido a $N'$ de esa manera y luego demostrar que $N'$, $P'$ y $C$ son colineales.
Antes de pasar a la segunda solución, traten de hallar con que otro punto podemos hallar su simétrico.
Solucion 2
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Captura de pantalla 2018-11-20 a la(s) 15.39.51.png
Sea $A'$ el simétrico de $A$ con respecto al punto $M$. Notemos que $ACA'D$ es paralelogramo con $A'C=AD$ y que los puntos $N$, $C$ y $A'$ están alineados dado que $AD || NC$ y $AD||A'C$ . Ahora notemos que $P\hat{A} D=P\hat{A'}N$ (alternos internos) y que $P\hat{D} A=P\hat{N} A'$ (alternos internos). Ahora vemos que los triángulos $APD$ y $PNA'$ son semejantes. Por semejanza de triángulos tenemos que:
$\frac{A'P}{AP}=\frac{A'N}{AD}$ y sabiendo que $A'N=NC+A'C=NC+AD=\frac{BC}{2}+AD$, $A'P=PM+A'M=PM+AM=2.PM+AP$
$\frac{2.PM+AP}{AP}=\frac{\frac{BC}{2}+AD}{AD}$
$1+\frac{2.PM}{AP}=1+\frac{\frac{BC}{2}}{AD}$
$\frac{4}{3}=\frac{BC}{AD}$
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