Provincial 2018 - Nivel 3 - Problema 3

[Monazo]

Sea $ABCD$ un trapecio con los lados paralelos $BC$ y $DA$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los lados $CD$ y $BC$ respectivamente y $P$ el punto de intersección de los segmentos $AM$ y $DN$. Si $AP=3PM$, calcular $\frac{BC}{AD}$.

[Gianni De Rico]

Cuando querés usar proyectiva pero te faltan puntos pasan estas cosas

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Sea $Q=AC\cap DN$. Por el Teorema de la Bisectriz Generalizado tenemos $$\frac{AP}{PM}=\frac{AD}{DM}\frac{\sin A\widehat DP}{\sin P\widehat DM}$$$$\frac{AQ}{QC}=\frac{AD}{DC}\frac{\sin A\widehat DQ}{\sin Q\widehat DC}=\frac{1}{2}\frac{AD}{DM}\frac{\sin A\widehat DP}{\sin P\widehat DM}=\frac{1}{2}\frac{AP}{PM}$$
Ahora como $AD\parallel BC$, por Thales resulta $$2\frac{AD}{BC}=\frac{AD}{CN}=\frac{AQ}{QC}=\frac{1}{2}\frac{AP}{PM}\Rightarrow \frac{BC}{AD}=4\frac{PM}{AP}$$
Esta es la solución general, en este problema $AP=3PM\Rightarrow \frac{PM}{AP}=\frac{1}{3}$, por lo tanto $\frac{BC}{AD}=\frac{4}{3}$