Provincial 2018 - Nivel 1 - Problema 2

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Matigelp97

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Provincial 2018 - Nivel 1 - Problema 2

Mensaje sin leer por Matigelp97 » Dom 26 Ago, 2018 8:22 am

En un conjunto de personas a algunas les gusta la matemática y a las otras les gusta la informática. El promedio de las edades de las personas a las que les gusta la matemática es igual a $15$ y el de aquellas a las que les gusta la informática es igual a $25$. Un día, exactamente una persona se cambia de informática a matemática. Como consecuencia del cambio el promedio de las edades en los dos grupos aumentó en $1$. Hallar la cantidad de personas del conjunto y dar un ejemplo que muestre que esta situación es posible.

ignacioc
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Re: Provincial 2018 - Nivel 1 - Problema 2

Mensaje sin leer por ignacioc » Lun 27 Ago, 2018 2:55 pm

Llamemos $X$ a las personas a las que les gusta la matemática e $Y$ a las personas a las que les gusta la informática. Por lo que nos dice el enunciado,
$\frac{X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n}$=$15$ ,(donde n es la cantidad de personas a las que les gusta la matemática) de lo que se deduce que $X_{1}+X_{2}+...+X_{n}$ = $15n$. También tenemos que $\frac{Y_{1}+Y_{2}+...+Y_{k}}{k}$=$25$ (donde k es la cantidad de personas a las que les gusta la informática) de lo que sale que $Y_{1}+Y_{2}+...+Y_{k}$ = $25k$. Asumamos que la persona que se pasa de informática a matemática es $Y_{y}$. Por lo que dice el enunciado, $\frac{X_{1}+X_{2}+...+X_{n}+Y_{y}}{n+1}$=$16$, entonces $X_{1}+X_{2}+...+X_{n}+Y_{y}$ = $16n+16$ y que $\frac{Y_{1}+Y_{2}+...+Y_{k}-Y_{y}}{k-1}$=$26$, entonces $Y_{1}+Y_{2}+...+Y_{k}-Y_{y}$ = $26k-26$. Entonces obtenemos que $X_{1}+X_{2}+...X_{n}$ = $16n+16-Y_{y}$ y que $Y_{1}+Y_{2}+...Y_{K}$ = $26k-26+Y_{y}$. Igualando obtenemos que $15n$ = $16n-16+Y_{y}$, de lo que sale que $Y_{y}$ = $16+n$. Haciendo lo mismo en la ecuación $25k$ = $26k-26+Y_{y}$, se llega a que $Y_{y}$ = $26-k$. Entonces, si igualamos $26-k$ = $16+n$, se llega a que $n+k$ = $10$. Entonces, la cantidad de personas del conjunto debe ser igual a $10$. Un ejemplo puede ser que en $X$ haya estas $8$ personas: $15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15$ y en $Y$ haya 2 personas: $24, 26$. Primero, vemos que el promedio de las edades en $X$ = $15$ y en $Y$ = $25$. Si se pasa el $24$, el promedio en $X$ = $16$ y en $Y$ = $26$.

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