Página 1 de 1
Provincial 2018 - Nivel 1 - Problema 2
Publicado: Dom 26 Ago, 2018 8:22 am
por Monazo
En un conjunto de personas a algunas les gusta la matemática y a las otras les gusta la informática. El promedio de las edades de las personas a las que les gusta la matemática es igual a $15$ y el de aquellas a las que les gusta la informática es igual a $25$. Un día, exactamente una persona se cambia de informática a matemática. Como consecuencia del cambio el promedio de las edades en los dos grupos aumentó en $1$. Hallar la cantidad de personas del conjunto y dar un ejemplo que muestre que esta situación es posible.
Re: Provincial 2018 - Nivel 1 - Problema 2
Publicado: Lun 27 Ago, 2018 2:55 pm
por ignacioc
- Spoiler: mostrar
- Llamemos $X$ a las personas a las que les gusta la matemática e $Y$ a las personas a las que les gusta la informática. Por lo que nos dice el enunciado,
$\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}=15$ (donde $n$ es la cantidad de personas a las que les gusta la matemática) de lo que se deduce que $X_1+X_2+\cdots +X_n=15n$. También tenemos que $\frac{Y_1+Y_2+\cdots +Y_k}{k}=25$ (donde $k$ es la cantidad de personas a las que les gusta la informática) de lo que sale que $Y_1+Y_2+\cdots +Y_k=25k$. Asumamos que la persona que se pasa de informática a matemática es $Y_y$. Por lo que dice el enunciado, $\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n+Y_y}{n+1}=16$, entonces $X_1+X_2+\cdots +X_n+Y_y=16n+16$ y que $\frac{Y_1+Y_2+\cdots +Y_k-Y_y}{k-1}=26$, entonces $Y_1+Y_2+\cdots +Y_k-Y_y=26k-26$. Entonces obtenemos que $X_1+X_2+\cdots +X_n=16n+16-Y_y$ y que $Y_1+Y_2+\cdots +Y_k=26k-26+Y_y$. Igualando obtenemos que $15n=16n-16+Y_y$, de lo que sale que $Y_y=16+n$. Haciendo lo mismo en la ecuación $25k=26k-26+Y_y$, se llega a que $Y_{y}=26-k$. Entonces, si igualamos $26-k=16+n$, se llega a que $n+k=10$. Entonces, la cantidad de personas del conjunto debe ser igual a $10$. Un ejemplo puede ser que en $X$ haya estas $8$ personas: $15,15,15,15,15,15,15,15$ y en $Y$ haya $2$ personas: $24,26$. Primero, vemos que el promedio de las edades en $X=15$ y en $Y=25$. Si se pasa el $24$, el promedio en $X=16$ y en $Y=26$.
Re: Provincial 2018 - Nivel 1 - Problema 2
Publicado: Dom 24 Sep, 2023 1:51 pm
por FelipeGigena
- Spoiler: mostrar
-
Notemos que:
Si $a : b = c \Rightarrow bc = a$
$A$: Suma de las edades de las personas que les gusta matemática.
$B$: Suma de las edades de las personas que les gusta informática.
$\alpha$: Edad de la persona que cambia de gustos.
$n$: Cantidad de personas que le gustan las matemáticas.
$k$: Cantidad de personas que le gustan la informática.
Tenemos lo siguiente:
$A : n = 15 \Rightarrow A = 15n$
$(A + \alpha) : (n + 1) = 16 \Rightarrow A + \alpha = 16(n + 1)$
$B : k = 25 \Rightarrow B = 25k$
$(B - \alpha) : (k + 1) = 26 \Rightarrow B - \alpha = 26(k - 1)$
Fijándonos en las $2$ primeras ecuaciones, podemos "desarrollar" un poco el valor de $\alpha$, nos queda:
$A + \alpha - A = 16(n + 1) - 15n$
$\alpha = 16n + 16 - 15n$
$\alpha = 16 + n$
Podemos hacer algo parecido con las ecuaciones de $B$:
$B - (B - \alpha) = 25k - 26(k - 1)$
$B - B + \alpha = 25k - 26k + 26$
$\alpha = -k + 26 = 26 - k$
Igualando ambos resultados, nos queda:
$\alpha = 16 + n = 26 - k$
$16 + n = 26 - k$
$n + k = 10$
A partir de esto, tenemos que el número de personas es $10$, ahora nos queda encontrar un ejemplo para $n$ y $k$ donde se cumpla el enunciado:
Probamos $n = 1$, $k = 9$:
$\alpha = 16 + n = 16 + 1 = 17$
$B = 25k = 25 * 9 = 225$
$A = 15n = 15 * 1 = 15$
Buscando un ejemplo, lo conseguimos (a base de "jugar"):
$A = \{15\}$
$B = \{17, 26, 26, 26, 26, 26, 26, 26, 26\}$
$15 : 1 = 15$
$(17 + 26 * 8) : 9 = 225 : 9 = 25$
$(15 + 17) : 2 = 32 : 2 = 16$
$(26 * 8) : 8 = 208 : 8 = 26$
Y estamos.