Provincial 2018 - Nivel 1 - Problema 3

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Matigelp97

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Provincial 2018 - Nivel 1 - Problema 3

Mensaje sin leer por Matigelp97 » Dom 26 Ago, 2018 8:28 am

Sea $ABCD$ un paralelogramo con $B\hat AD$ menor que $90$º y tal que el lado $AB$ es mayor que el lado $BC$. La bisectriz de $B\hat AD$ corta al lado $CD$ en $E$ y a la recta $BC$ en $F$. Sea $O$ el centro de la circunferencia que pasa por $C$, $E$ y $F$. Demostrar que el triángulo $BDO$ es isósceles.

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DiegoLedesma
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Re: Provincial 2018 - Nivel 1 - Problema 3

Mensaje sin leer por DiegoLedesma » Dom 26 Ago, 2018 10:44 am

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$\bigtriangleup$ $FEC$$\sim$ $\bigtriangleup$ $FAB$ $\Rightarrow$ $F\hat{E}C=F\hat{A}B$. Por ser $AF$ bisectriz, se tiene que $D\hat{A}F=F\hat{A}B$ $\Rightarrow$ $D\hat{A}F=E\hat{F}C$, por lo que $\bigtriangleup$ $EFC$ es isósceles ($EC=FC$). Además, $\bigtriangleup$ $ADE$ también es isósceles ($AD=DE$), pues $F\hat{E}C=D\hat{E}A$ (opuestos por el vértice), y además $AD=BC$ (lados opuestos de un paralelogramo)
Por $B$ y $D$ trazamos las rectas que cortan en $O$ a la circunferencia que pasa por $C$, $E$ y $F$. Aplicando potencia de un punto en $B$ y $D$ respectivamente, siendo $r$ el radio de la circunferencia, tenemos: $(BO-r)(BO+r)=BC.BF$ y $(DO-r)(DO+r)=DE.DC$, y por ser $AD=DE=BC$ y $EC=FC$, se llega a que $BF=DC$ $\Rightarrow$ $(BO-r)(BO+r)=(DO-r)(DO+r)$ $\Rightarrow$ $BO^{2}-r^{2}=DO^{2}-r^{2}$ $\Rightarrow$ $BO=DO$
$\therefore$ $\bigtriangleup$ $BDO$ es isósceles (Q.E.D.)

tuvie

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Re: Provincial 2018 - Nivel 1 - Problema 3

Mensaje sin leer por tuvie » Lun 27 Ago, 2018 4:01 pm

Relacionado: IMO 2007 P2

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