$(a)$ Diremos que un conjunto de enteros positivos $A$ es flaco si todos sus elementos son distintos, y cada elemento divide a la suma de todos los elementos del conjunto $A$. Decidir si existe un conjunto flaco de $2018$ enteros positivos.
$(b)$ Diremos que un conjunto de enteros positivos $B$ es fofo si todos sus elementos son distintos, y para cada pareja $x$ e $y$ de elementos distintos de $B$, se cumple que $x+y$ divide a la suma de todos los elementos de $B$. Decidir si existe un conjunto fofo de $2018$ enteros positivos.
Parte a:
Veamos que el conjunto ${1; 2; 3; 3.2; 3.4; 3.8; ... ; 3.2^{2015}}$ cumple:
Su suma es $1+2+3+3.2+...+3.2^{2015} = 3+3(1+2+4+...+2^{2015}) = 3+3.(2^{2016}-1) = 3.2^{2016} $
Y claramente todos sus elementos dividen a ese numero.
Parte b:
Supongamos sin perdida de la generalidad que $x_1<x_2<...<x_{2018}$ son los 2018 elementos del conjunto fofo y sea $S$ su suma.
Por Hipotesis, toda pareja de la forma $x_i+x_j$ divide a $S$ para todos $i, j$. Sean $0<b<a<2018$ dos subindices tal que $x_a-x_b$ es lo menor posible. En particular $x_a-x_b \leq \frac{x_{2017}}{2017}$
Notemos que $x_{2018}+x_a$ y $x_{2018}+x_b$ dividen a $S$. Es facil ver que, entonces $(x_{2018}+x_a).(x_{2018}+x_b)/MCD(x_{2018}+x_a ; x_{2018}+x_b)$ divide a S.
Por algoritmo de euclides $MCD(x_{2018}+x_a ; x_{2018}+x_b) = MCD(x_{2018}+x_a ; x_a-x_b) \leq x_a-x_b\leq \frac{x_{2017}}{2017}$
Entonces $(x_{2018}+x_a).(x_{2018}+x_b)/MCD(x_{2018}+x_a ; x_{2018}+x_b) \geq (x_{2018}+x_a).(x_{2018}+x_b)/\frac{x_{2017}}{2017}$
Esto ultimo es igual a $ 2017. (x_{2018}+x_a).(x_{2018}+x_b)/x_{2017}$
Ahora, como $(x_{2018}+x_b) \geq x_{2017}$ vale que $(x_{2018}+x_b)/x_{2017} \geq 1$.
Para terminar $(x_{2018}+x_a).(x_{2018}+x_b)/MCD(x_{2018}+x_a ; x_{2018}+x_b) \geq 2017. (x_{2018}+x_a)$ pero esto ultimo es claramente mayor que $S$. Por lo tanto $(x_{2018}+x_a).(x_{2018}+x_b)/MCD(x_{2018}+x_a ; x_{2018}+x_b) > S$, pero antes dijimos que este numero dividia a $S$, lo cual implica que $(x_{2018}+x_a).(x_{2018}+x_b)/MCD(x_{2018}+x_a ; x_{2018}+x_b) \leq S$ por tanto tenemos una contradiccion y dicho conjunto fofo de 2018 elemenos no existe.
Última edición por Chino2000 el Mar 16 Oct, 2018 6:32 pm, editado 1 vez en total.
b) Sean $x_1<x_2<...<x_{2018}$ los $2018$ elementos de un conjunto fofo y sea $S=x_1+x_2+...+x_{2018}$ la suma de todos los elementos del conjunto. Entonces $\frac{S}{x_{2018}+x_i}$ es entero para todo $i<2018$. Como $S<2017(x_{2018}+x_1)$ entonces $2017>\frac{S}{x_{2018}+x_1}>\frac{S}{x_{2018}+x_2}>...>\frac{S}{x_{2018}+x_{2017}}>0$ Pero entonces habría $2017$ enteros positivos menores a $2017$. Absurdo