Se tiene un paralelogramo $ABCD$ de área $40$. Se marcan los puntos medios $M$ y $N$ de $AB$ y $BC$, respectivamente, y $P$ la intersección de $CM$ con $DN$. Sean $Q$ tal que $ABQP$ es un paralelogramo, y $R$ tal que $ADRP$ es un paralelogramo. Hallar el área del triángulo $CQR$.
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro //
Ver que $CDPQ$ y $BCRP$ son paralelogramos.
Concluir que los triangulos $CQR$ y $PDB$ son congruentes.
Verificar que $\frac{PD}{PN} = 4$ ó algo similar.
Concluir que $(CQR) = (BPD) = 8$
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro //
De los paralelogramos:
$$*CD\parallel AB\parallel PQ,CD=AB=PQ $$$PDCQ $ es un paralelogramo,entonces $PD \parallel CQ, PD=CQ $.
*$BP=CR, BP \parallel CR $
De esto los triángulos $CRQ $ y $PBD $ son congruentes. Entonces $[CRQ]=[PBD]=[CPD]$ pues $N $ es punto medio de $BC$.
Screenshot_2018-10-15-21-03-34-1.png
Sea $X$ la intersección de $CM $ y $AD $.
Sea $m=[CNP],n=[CPD]$ de los puntos medios tenemos:
$$[CMB]=\frac {[CAB]}{2}=\frac {[ABCD]}{4}=10=[CND]=m+n$$
De esto como $M $ es punto medio y $AD\parallel BC \to [AMX]=[CMB]=10$.
Por los puntos medios $XD=4.NC $ y por las paralelas $10+[AMPD]=[PXD]=16 [CNP]=16m\to [AMPD]=16m-10$
Como $40=[ABCD]=[AMPD]+[CMB]+[CPD]=16m-10+10+n=15m+m+n=15m+10$
Entonces $m=2\to n=8$
Por lo tanto $[CRQ]=[CPD]=n=8$.
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Como $N$ es punto medio de $BC$, $(NBD)=\frac{1}{2}(CBD)=\frac{1}{2}\frac{1}{2}(ABCD)=\frac{1}{4}(ABCD)$.
Ahora, $\{D,E;G,B\}\underset{C}{=}\{P_{\infty},M;A,B\}=1$ (sin segmentos dirigidos). Pero como $ABCD$ es un paralelogramo, $G$ es el punto medio de $BD$, luego, $\frac{DE}{EB}=2$. Por el Teorema de la Bisectriz generalizado $2=\frac{DE}{EB}=\frac{DC}{CB}\frac{\sin \angle DCE}{\sin \angle ECB}=\frac{1}{2}\frac{DC}{CN}\frac{\sin \angle DCP}{\sin \angle PCN}=\frac{1}{2}\frac{DP}{PN}$
$\therefore DP=4PN\Rightarrow (CQR)=(PBD)=\frac{4}{5}(NBD)=\frac{1}{5}(ABCD)$.
En este problema $(ABCD)=40\Rightarrow (CQR)=8$.
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$PR∥AD∥BC⇒BCRP$ es un paralelogramo $⇒BP∥CR∧BP=CR$ (1)
$PQ∥AB∥DC⇒DCQP$ es un paralelogramo $⇒DP∥CQ∧DP=CQ$ (2)
Por (1) y (2) los triangulos $CRQ$ y $BDP$ son congruentes por lo tanto tienen la misma area.
Como $BN=CN$ los triangulos $BNP$ y $CNP$ tienen igual base y misma altura por lo que $(BNP)=(CNP)$.
Por la misma razón $(BND)=(CND)$
$(BPD)=(BDN)−(BPN)=(CDN)−(CPN)=(CDP)$.
Sean $L=BD∩MC$ y $O=AC∩BD$.
$BO, CM$ y $AN$ son las medianas del triangulo $ABC$ y se cortan en $L$ por lo tanto $2ML=LC$ y $2LO=BL$.
Por el teorema de Menelao aplicado al triangulo $LCB$ por la recta $DPN$ tenemos que
$\frac{BN×CP×LD}{NC×PL×BD}=\frac{CP×2}{PL×3}=1⇒\frac{CP}{PL}=\frac{(PCD)}{(PLD)}=\frac{(PCD)}{\frac{40}{3}−(PCD)}=\frac{3}{2}⇒2(PCD)=3(\frac{40}{3}−(PCD))=40−3(PCD)⇒5(PCD)=40⇒(PCD)=8$