FOFO 8 años Problema 2

Johanna · Vie 12 Oct, 2018 7:17 am

Chino quiere colorear cada una de las casillas de un tablero de $1\times 100$ de celeste o blanco de forma tal que no haya $3$ casillas consecutivas del mismo color.
$(a)$ Hallar la máxima cantidad de casillas celestes que puede tener el tablero.
$(b)$ ¿De cuántas formas puede Chino colorear el tablero con la cantidad de casillas celestes hallada en $(a)$?

Johanna · Lun 15 Oct, 2018 5:22 pm

Aquí publicaremos la solución oficial.

enigma1234 · Mar 16 Oct, 2018 3:20 am

Spoiler: mostrar: Veamos que pasa en un tablero de $1×(3k+1) $,separamos las $3k $ primeras casillas de la izquierda en $k $ triminos en donde por la condición hay como máximo 2 celestes y con la casilla más a la derecha tenemos que hay máximo $2k+1$ casillas celestes,y un ejemplo es C C B C C B...C C B C.
Ahora sea $a_k $ el número de maneras de tener $2k+1$ celestes en un tablero de $1×(3k+1) $.
Etiquetado los números de izquierda a derecha con $1,2,3,..,3k+1$,para las casillas $3l+1$ tiene una cantidad múltiplo de 3 en la derecha y en la izquierda,entonces los podemos separar en $k$ triminos donde hay máximo $2k $ celestes,como hay $2k+1$ celestes $\to $ $3l+1$ es celeste y entre las casillas $3l-1,3l $ hay 1 celeste y un blanco.
Caso 1 :2 es blanco y 3 es celeste
Cómo 4 es celeste $\to$ 5 debe ser blanco y 6 debe ser celeste y así hasta llegar al final entonces solo hay una posibilidad.
Caso 2 :2 es celeste y 3 es blanco
Entonces en el tablero de $1×(3k-2)$ más a la derecha es como si fuera el caso para $k-1$ dado que 3 es blanco y no afecta a 5 y 6 $\to $ hay $a_{k-1} $ casos.
$\to a_k= a_{k-1} +1$ y dado que para $k=1$ solo hay 2 casos ( C C B C;C B C C) tendremos que $a_k=k+1$
Entonces en el tablero de 1×100 tendremos que máximo pueden haber 67 celestes y esto puede pasar de 34 maneras.

Peznerd · Mar 30 Oct, 2018 10:55 am

enigma1234 escribió: ↑Mar 16 Oct, 2018 3:20 am
Spoiler: mostrar
Veamos que pasa en un tablero de <mo stretchy="false">(</mo><mn>3</mn><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo></math>" role="presentation">1×(3k+1)<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn ... >×</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>3</mn><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-24">1×(3k+1) </script>,separamos las </math>" role="presentation">3k<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn ... an><script type="math/tex" id="MathJax-Element-25">3k </script> primeras casillas de la izquierda en </math>" role="presentation">k<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi ... an><script type="math/tex" id="MathJax-Element-26">k </script> triminos en donde por la condición hay como máximo 2 celestes y con la casilla más a la derecha tenemos que hay máximo </math>" role="presentation">2k+1<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn ... an><script type="math/tex" id="MathJax-Element-27">2k+1</script> casillas celestes,y un ejemplo es C C B C C B...C C B C.
Ahora sea </math>" role="presentation">ak<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ms ... an><script type="math/tex" id="MathJax-Element-28">a_k </script> el número de maneras de tener </math>" role="presentation">2k+1<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn ... an><script type="math/tex" id="MathJax-Element-29">2k+1</script> celestes en un tablero de <mo stretchy="false">(</mo><mn>3</mn><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo></math>" role="presentation">1×(3k+1)<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn ... >×</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>3</mn><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-30">1×(3k+1) </script>.
Etiquetado los números de izquierda a derecha con </math>" role="presentation">1,2,3,..,3k+1<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn ... an><script type="math/tex" id="MathJax-Element-31">1,2,3,..,3k+1</script>,para las casillas </math>" role="presentation">3l+1<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn ... an><script type="math/tex" id="MathJax-Element-32">3l+1</script> tiene una cantidad múltiplo de 3 en la derecha y en la izquierda,entonces los podemos separar en </math>" role="presentation">k<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi ... an><script type="math/tex" id="MathJax-Element-33">k</script> triminos donde hay máximo </math>" role="presentation">2k<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn ... an><script type="math/tex" id="MathJax-Element-34">2k </script> celestes,como hay </math>" role="presentation">2k+1<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn ... an><script type="math/tex" id="MathJax-Element-35">2k+1</script> celestes <mo stretchy="false">→</mo></math>" role="presentation">→<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">→</mo></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-36">\to </script> </math>" role="presentation">3l+1<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn ... an><script type="math/tex" id="MathJax-Element-37">3l+1</script> es celeste y entre las casillas </math>" role="presentation">3l−1,3l<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn ... an><script type="math/tex" id="MathJax-Element-38">3l-1,3l </script> hay 1 celeste y un blanco.
Caso 1 :2 es blanco y 3 es celeste
Cómo 4 es celeste <mo stretchy="false">→</mo></math>" role="presentation">→<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">→</mo></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-39">\to</script> 5 debe ser blanco y 6 debe ser celeste y así hasta llegar al final entonces solo hay una posibilidad.
Caso 2 :2 es celeste y 3 es blanco
Entonces en el tablero de <mo stretchy="false">(</mo><mn>3</mn><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mo stretchy="false">)</mo></math>" role="presentation">1×(3k−2)<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn ... >×</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>3</mn><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mo stretchy="false">)</mo></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-40">1×(3k-2)</script> más a la derecha es como si fuera el caso para </math>" role="presentation">k−1<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi ... an><script type="math/tex" id="MathJax-Element-41">k-1</script> dado que 3 es blanco y no afecta a 5 y 6 <mo stretchy="false">→</mo></math>" role="presentation">→<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">→</mo></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-42">\to </script> hay <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub></math>" role="presentation">ak−1<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ms ... </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-43">a_{k-1} </script> casos.
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Entonces en el tablero de 1×100 tendremos que máximo pueden haber 67 celestes y esto puede pasar de 34 maneras.

No entiendo por qué decís que puede pasar de 34 maneras. Yo sólo encuentro 3: $A$ (si empieza con celeste, celeste, blanco), $B$ (si empieza con celeste, blanco, celeste) y $C$ (si empieza con blanco, celeste, celeste). En los cuales el patrón de que después una casilla blanca hay dos celestes se repite hasta el final. De cualquier otra forma, habrían menos que 67 casillas celestes! ¿O no?

Mar 30 Oct, 2018 3:00 pm

Spoiler: mostrar: Bueno, esas son $3$ maneras de empezar, pero ¿No podrías tener un bloque $A$ y después un boque $B$? (O sea, que empiece "celeste, celeste, blanco, celeste, blanco, celeste")

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