ONEM 2018 - Fase 3 - Nivel 3 - P9

luisq
Mensajes: 4
Registrado: Jue 25 Oct, 2018 10:45 am
Nivel: 3

ONEM 2018 - Fase 3 - Nivel 3 - P9

Mensaje sin leer por luisq » Vie 02 Nov, 2018 12:19 pm

Un triángulo ABC tiene ángulos cuyas medidas cumplen la condición ∢A ≤ ∢B ≤ ∢C.
Si el mayor valor posible de cos A + cos C es λ, calcule el valor de (24λ)^2.

Avatar de Usuario
DiegoLedesma
Mensajes: 31
Registrado: Vie 28 Jul, 2017 9:21 pm
Nivel: Otro

Re: ONEM 2018 - Fase 3 - Nivel 3 - P9

Mensaje sin leer por DiegoLedesma » Lun 12 Nov, 2018 7:03 am

Spoiler: mostrar
Por ser los 3 ángulos interiores del $\bigtriangleup$ $ABC$, diremos que $\hat{C}=180º-(\hat{A}+\hat{B})$, por lo que $cos(\hat{A})+cos(\hat{C})=cos(\hat{A})+cos(180º-(\hat{A}+\hat{B}))=cos(\hat{A})+cos(180º)cos(\hat{A}+\hat{B})+sin(180º)
cos(\hat{A}+\hat{B})=cos(\hat{A})-cos(\hat{A}+\hat{B})$. El máximo valor de esta expresión, entonces, lo obtendremos cuando $cos(\hat{A})$ alcance su máximo y $cos (\hat{A}+\hat{B})$, su mínimo. Por lo tanto:
* $cos(\hat{A}+\hat{B})<0$ $\Rightarrow$ $\hat{A}+\hat{B}>90º$ $\Rightarrow$ $\hat{C}\leq 90º$, y como no es menor a $\hat{A}$ y $\hat{B}$, se tiene que $60º\leq \hat{C}\leq 90º$
Entonces, el mínimo valor de $cos(\hat{A}+\hat{B})$ (máximo de $\hat{A}+\hat{B}$) se obtendrá cuando $\hat{C}$ sea mínimo, por lo que $\hat{C}=60º$. Luego, $\hat{A}=\hat{B}=60º$ (pues $\hat{A}\leq \hat{B}\leq \hat{C}$), por lo que $\bigtriangleup$ $ABC$ es equilátero.
$\Rightarrow$ $\lambda=cos(\hat{A})+cos(\hat{C})=cos(60º)+cos(60º)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$
$\therefore$ ($24\lambda)^{2}=(24)^{2}=576$.

Responder