Nacional 2018 P4 N2

[Monazo]

Hay $456$ personas alrededor de una circunferencia que denotamos $X_1,X_2,\dots ,X_{456}$ y cada una de ellas pensó un número. Cada vez que Laura dice un número entero $k$ con $2\leq k \leq 100$, el locutor anuncia todos los números $p_1,p_2,\dots ,p_{456}$ que son los promedios de los números que pensaron las personas de todos los grupos ordenados de $k$ personas consecutivas: $p_1$ es el promedio de los números que pensaron las personas desde $X_1$ hasta $X_k$, $p_2$ es el promedio de los números que pensaron las personas desde $X_2$ hasta $X_{k+1}$, y así siguiendo hasta llegar a $p_{456}$, promedio de los números que pensaron las personas desde $X_{456}$ hasta $X_{k-1}$. Determinar cuántos números $k$ debe decir Laura como mínimo para que los correspondientes anuncios del locutor pueda conocer con certeza el número que pensó la persona $X_{456}$.

[BrunoDS]

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Es claro que sin decir ningún $K$ no es posible conocer con certeza el número que pensó la persona $X_{456}$. Veamos que esto es posible con decir $1$ sólo $k$.

Laura dice $k=5$. Luego, suma:
$p_1+p_2+...+p_{456}=(\frac{x_1+x_2+...+x_5}{5})+(\frac{x_2+x_3+...+x_6}{5})+...+(\frac{x_{456}+x_1+...+x_4}{5})=$

$\frac{5x_5+5x_2+5x_3+...+5x_{456}}{5}=x_1+x_2+...+x_{456}=S$

Ya que cada $x_i$ aparece sumando $5$ veces en total. Luego, haciendo esto, conoce la suma de todos los números.

Luego, suma:
$5p_1+5p_6+5p_{11}+...+5p_{451}= 5((\frac{x_1+...+x_5}{5})+(\frac{x_6+...x_{10}}{5})+...+({\frac{x_{451}+...x_{455}}{5}}))=$

$x_1+x_2+...+x_{455}=D$

Luego, resta $S-D$ y obtiene:

$S-D=(x_1+x_2+...+x_{456})-(x_1+...+x_{455})=x_{456}$

Como queríamos.