Se tiene un tablero cuadriculado de $50\times 50$. Carlos va a escribir un número en cada casilla con el siguiente procedimiento. Elige primero $100$ números distintos que denotamos $f_1,f_2,f_3,\dots,f_{50},c_1,c_2,c_3,\dots,c_{50}$ entre los cuales hay exactamente $50$ que son racionales. A continuación escriben en cada casilla $(i,j)$ el número $f_i. c_j$ (la multiplicación de $f_i$ por $c_j$). Determinar la máxima cantidad de números racionales que pueden contener las casillas del tablero.
Sabemos que si multiplicamos un número irracional con cualquier numero racional distinto de 0 el resultado sera un número irracional.
sabiendo esto sabemos que cada número de la lista de f se multiplicara una vez con cada número de la lista de c, por lo tanto si f o c tiene todos sus numero irracionales, la cantidad de numeros racionales del producto sería la menor, entonces en base a esto consideramos que debemos repartir los 50 racionales de forma equitativa en la lista, de esta forma tendríamos que 25x25 = 625, esa seria la cantidad de numeros racionales que escribiriamos en el tablero.
Pero no es la mayor cantidad de numeros que podemos conseguir, ya que si consideramos a alguno de los numeros de f o c como 0 entonces todos los resultados de su producto serían 0, por lo tanto racionales, entonces nos queda que la cantidad de numeros racionales sería (24x25) + 50 = 650 y ese seria el resultado
Notemos 3 cosas antes de empezar:
$1º:$ El productos entre 2 números racionales siempre resulta en un racional
$2º:$ El producto entre un número racional y otro irracional únicamente resulta en un racional si el racional es igual a $0$
$3º:$ Pueden elegirse a conveniencia los irracionales para que su producto resulte en un racional. Por ejemplo:
$n=x\cdot \sqrt{2}$
$p=\frac{y}{\sqrt{2}}$
Con $x$ e $y$ racionales, tanto $n$ como $p$ resultan ser irracionales y su producto:
$n\cdot p=x\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{y}{\sqrt{2}}=x\cdot y$
Es racional.
Y cómo pueden elegirse infinitos valores para $x$ y para $y$ existen infinitos números de esta forma.
Ok, ahora supongamos que en el conjunto $c$ aparecen $R$ racionales, entonces en $f$ aparecerán $50-R$ racionales. Y de la misma manera, si en $c$ aparecen $P$ irracionales, en $f$ aparecerán $50-P$ irracionales.
Entonces, la cantidad de racionales que se formarán en el tablero, será “El producto entre la cantidad de racionales en $c$ y la cantidad de racionales en $f$” + “El producto entre la cantidad de irracionales $c$ y la cantidad de irracionales en $f$”, y eso es:
$T=R\cdot (50-R) + P\cdot (50-P)$
Pero, cómo la cantidad de elementos en $c$ es $50$ tenemos que $50=R+P$ y en particular $P=50-R$ así que reemplazando en la ecuación anterior nos queda:
$T=R\cdot (50-R) + (50-R)\cdot (50-(50-R))$
$T=R\cdot (50-R) + (50-R)\cdot R$
$T=2R\cdot (50-R)$
$T=100R -2R^2$
Pero, como dije en $2º$, si se mete al $0$ en algún conjunto, el cruce entre este y los irracionales del otro conjunto resultará en números racionales ($0$’s). Supongamos sin pérdida de generalidad que el $0$ está en $c$, de esta forma a $T$ le deberemos sumar $50-P$ que es la cantidad de irracionales que aparecen en el otro conjunto (Esto porque en $T$ ya estamos contando los cruces entre el $0$ y otros racionales)
Así que:
$T’=T + 50-P=100R -2R^2+50-P$
$T’=100R -2R^2+50-(50-R)$
$T’=101R -2R^2$
$R$ únicamente puede tomar valores en $[0;50]$ y de todos estos, $T’$ toma su valor máximo cuando $R=25$
$T’_{\max}=101\cdot 25 -2\cdot 25^2=1275$
Y podemos tener un ejemplo con:
$c=\left \{0;1;2;\ldots ;24;\sqrt{2};2\cdot \sqrt{2};\ldots ;25\cdot \sqrt{2}\right \}$
$f=\left \{25;26;27;\ldots ;49;\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{2}{\sqrt{2}};\ldots ;\frac{25}{\sqrt{2}}\right \}$
Ese ejemplo no funciona, porque tiene varios números repetidos. Por ejemplo $\sqrt 2=\frac{2}{\sqrt 2},2\sqrt 2=\frac{4}{\sqrt 2} $, etc.
Para que funcione alcanza con poner $\{26\sqrt 2, ..., 50\sqrt 2\}$ en el segundo conjunto.
