Nacional 2018 P1 N1

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Monazo

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Nacional 2018 P1 N1

Mensaje sin leer por Monazo » Dom 11 Nov, 2018 4:48 pm

Se tiene $10$ naipes y en cada uno de ellos hay escrito un dígito distinto desde $0$ hasta $9$. Ana y Beto, por turnos, eligen un naipe, y lo colocan a la derecha de los naipes que ya hayan colocado previamente de modo que cada jugador al finalizar el juego forma un número de $5$ dígitos. Cada jugador tiene prohibido elegir el $0$ en su primer turno. Ana gana si su número de $5$ dígitos es divisible por $6$. En otro caso gana Beto. Cada jugador juega para ganar. Si Ana juega en primer lugar, determinar qué jugador tiene estrategia ganadora y explicar su estrategia.

BrunZo

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Re: Nacional 2018 P1 N1

Mensaje sin leer por BrunZo » Vie 16 Nov, 2018 9:52 am

Solución:
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Como Ana debe conseguir que su número sea múltiplo de $6$, el último dígito del mismo deberá ser $0$, $2$, $4$, $6$ u $8$. Además, la suma de sus dígitos deberá ser múltiplo de $3$, por lo que, dividiremos en casos: Si los primeros cuatro dígitos son $0\mod 3$, Ana deberá terminar con $0$ ó $6$; si son $1\mod 3$, Ana deberá terminar con $2$ u $8$, y si son $2\mod 3$, Ana deberá terminar con $4$.
Entonces, vayamos al momento en el que Ana ya puso los primeros cuatro dígitos y Beto va a poner el cuarto. Si Beto se asegura de que, por ejemplo, el $0$ y el $2$ hayan sido utilizados, gana (en caso de que los dígitos de Ana sumen $0\mod 3$, usa el $6$; si es $1\mod 3$, usa el $8$, y si es $2\mod 3$, usa el $4$, de modo que, a Ana no le quedan dígitos para usar). Entonces, en caso de que no los haya puesto ya Ana, Beto va a utilizar sus primeros dos turnos en usar el $0$ y el $2$, de modo que, si en el cuarto turno usa el dígito correspondiente con el resto del número actual de Ana, se asegura la victoria.

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