Nacional 2018 P2 N1

[Monazo]

a) Se repartieron $80$ caramelos entre $8$ niños. Como no todos obtuvieron la misma cantidad, decidieron usar el siguiente procedimiento para redistribuirlos entre ellos: Si dos niños $A$ y $B$ tienen respectivamente $a$ y $b$ caramelos y $a+b$ es par, entonces cada uno de ellos se queda con $\frac{a+b}{2}$ caramelos. Pero si $a+b$ es impar, cada uno se queda con los caramelos que tiene. Determinar si repitiendo este procedimiento los niños pueden lograr siempre que todos obtengan la misma cantidad de caramelos.

b) El mismo problema que en a) con $100$ caramelos repartidos entre $10$ niños.

[BrunZo]

Solución:

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(a) Llamemos $a_1$, $a_2$, $a_3$,..., $a_8$ a las cantidades iniciales de caramelos. $a_1+a_2+a_3+...+a_8=80$, de lo que se sigue que la cantidad de cantidades impares es par. Entonces, agrupamos las cantidades impares de a dos y las pares restantes también y realizamos la operación (es posible ya que impar más impar y par más par es siempre par) y obtenemos $b_1$, $b_2$, $b_3$, $b_4$ (dos veces cada uno). Sabemos que $2(b_1+b_2+b_3+b_4)=80\Rightarrow b_1+b_2+b_3+b_4=40$ y el argumento anterior sigue funcionando: hay una cantidad par de cantidades impares y podemos volver a dividir los números en parejas (cada pareja va a aparecer dos veces). Entonces, obtenemos $c_1$ y $c_2$ (cuatro veces cada uno). Además, $c_1+c_2=20$, por lo que, podemos hacer las cuatro parejas $(c_1,c_2)$ y obtener los ocho números iguales.

(b) Un claro contraejemplo: $1$, $1$, $1$, $1$, $1$, $1$, $1$, $1$, $46$, $46$.
Notemos que si elegimos un par y un impar, su suma sería impar y no podríamos realizar la operación, y si, en cambio, elegimos dos de la misma paridad, forzosamente van a ser iguales y los reemplazaríamos por sí mismos. Entonces, como esta configuración nunca va a cambiar, no será posible que terminen todos iguales.

[mszew]

Generalización
Se reparten $n$ números enteros $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ entre $n$ niños cuya suma es $0$, pero no todos son $0$, por eso decidieron usar el siguiente procedimiento para redistribuirlos entre ellos: Si dos niños $A$ y $B$ tienen respectivamente $a$ y $b$ y $a+b$ es par, entonces cada uno de ellos se queda con $\frac{a+b}{2}$ . Pero si $a+b$ es impar, cada uno se queda con los números que tiene. Determinar todos los $n$ para los que repitiendo este procedimiento los niños pueden lograr siempre que todos tengan el numero $0$.

El caso a es para $n=8$ y $+10$ en cada $a_i$
El caso b es para $n=10$ y $+10$ en cada $a_i$

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Usando la misma dinamica que en el post anterior y por induccion se puede para todo $n=2^k$, contraejemplo para los otros casos $2k+1$ se toma $-2k,1,1,1,1,1,\cdots,1$ y si fuera $(2k+1)2^k$ se repiten dichos bloques.