Determine el menor número entero $k\geq3$ que tiene la siguiente propiedad: Si $a, b, c, d, n$ son cualesquiera enteros positivos tales que $a+b+c+d$ y $a^2+b^2+c^2+d^2$ son múltiplos de $n$, entonces $a^k+b^k+c^k+d^k$ también es múltiplo de $n$.
$k=3$ no cumple ya que
$11\mid 1+1+2+7=11$
$11\mid 1^2+1^2+2^2+7^2=55$
$11\not\mid 1^3+1^3+2^3+7^3=353$
$k=4$ no cumple ya que
$5\mid 1+2+3+4=10$
$5\mid 1^2+2^2+3^2+4^2=30$
$5\not\mid 1^4+2^4+3^4+4^4=354$
$k=5$ sí cumple:
Veamos que si se cumple para $n=2^p$ y para $n=2r+1$, $\forall p,r\in N_0$, se cumple $\forall n\in N$, ya que $2^p$ y $2r+1$ son coprimos (si $n=2^p(2r+1)$ y tenemos que $n\mid a+b+c+d$ y $n\mid a^2+b^2+c^2+d^2$, entonces $2^p\mid a+b+c+d\wedge 2^p\mid a^2+b^2+c^2+d^2\implies 2^p\mid a^5+b^5+c^5+d^5$ y $2r+1\mid a+b+c+d\wedge 2r+1\mid a^2+b^2+c^2+d^2\implies 2r+1\mid a^5+b^5+c^5+d^5$, así que $n=2^p(2r+1)\mid a^5+b^5+c^5+d^5$, ya que $2^p$ y $2r+1$ son coprimos).
Si $n=2^p$:
Para $n=1$ se cumple.
Para $n=2$ se cumple (ya que $a^5+b^5+c^5+d^5\equiv a+b+c+d\equiv 0(2)$).
Para $n=4$ se cumple (como $a\equiv 1(2)\implies a^2\equiv 1(4)$ y $a\equiv 0(2)\implies a\equiv 0(4)$, para que $4\mid a^2+b^2+c^2+d^2$ debe ser $a\equiv b\equiv c\equiv d\equiv 0(2)$ (en este caso ya está) o $a\equiv b\equiv c\equiv d\equiv 1(2)$, en este caso tenemos que $a^5+b^5+c^5+d^5\equiv a+b+c+d\equiv 0(4)$).
Si se cumple para $n=2^p$ y para $n=2^{p+1}$, con $p\in N$, para $n=2^{p+2}$ también, ya que como $8\mid 2^{p+2}$ y $a\equiv 1(2)\implies a^2\equiv 1(8)$, para que sea $8\mid 2^{p+2}\mid a^2+b^2+c^2+d^2$ debe ser $a\equiv b\equiv c\equiv d\equiv 0(2)$. Entonces,
si $a=2w$, $b=2x$, $c=2y$ y $d=2z$, nos queda que $2^{p+2}\mid 2(w+x+y+z)\implies 2^{p}\mid w+x+y+z$ y que $2^{p+2}\mid 4(w^2+x^2+y^2+z^2)\implies 2^p\mid w^2+x^2+y^2+z^2$, así que $2^p\mid w^5+x^5+y^5+z^5\implies 2^{p+2}\mid 32(w^5+x^5+y^5+z^5)=a^5+b^5+c^5+d^5$.
Si $n=2r+1$:
Tenemos que $a^2+b^2\equiv -(c^2+d^2)(n)\implies a^4+2a^2b^2+b^4\equiv c^4+2c^2d^2+d^4(n)$.
También tenemos que $a+b\equiv -(c+d)(n)\implies a^2+b^2+2ab\equiv c^2+d^2+2cd(n)$, entonces $2(a^2+b^2+ab)\equiv 2cd(n)\implies a^2+b^2+ab\equiv cd(n)\implies a^3b+a^2b^2+ab^3\equiv abcd(n)$. De la misma forma $c^3d+c^2d^2+cd^3\equiv abcd(n)\implies a^3b+a^2b^2+ab^3\equiv c^3d+c^2d^2+cd^3(n)$.
Entonces nos queda que
$a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4\equiv c^4-c^3d+c^2d^2-cd^3+d^4(n)$.
$(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)\equiv -(c+d)(c^4-c^3d+c^2d^2-cd^3+d^4)(n)$
$a^5+b^5\equiv -(c^5+d^5)(n)\implies n\mid a^5+b^5+c^5+d^5$.
