XI Torneo de las ciudades Otoño 2018 Norte-Nivel Juvenil Problema 5

Sandy

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XI Torneo de las ciudades Otoño 2018 Norte-Nivel Juvenil Problema 5

Mensaje sin leer por Sandy » Mar 13 Nov, 2018 9:52 pm

Un trapecio isósceles $ABCD$, con $AD \parallel BC$, está inscrito en una circunferencia de centro $O$. La recta $BO$ corta al segmento $AD$ en $E$. Sea $P$ el centro de la circunferencia que pasa por $A$, $B$ y $E$, y sea Q el centro de la circunferencia que pasa por $B$, $D$ y $E$. Demostrar que los puntos $P$, $Q$, $O$ y $C$ están en una misma circunferencia.

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Gianni De Rico

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Re: XI Torneo de las ciudades Otoño 2018 Norte-Nivel Juvenil Problema 5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 14 Nov, 2018 12:57 pm

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Sea $F$ el punto de intersección de la semirrecta $OE$ con el circuncírculo del trapecio, entonces $BF$ es diámetro de la circunferencia, por lo tanto $\angle BAF=90°$. Sean $\angle PAE=\angle PEA=\alpha$ y $\angle PAB=\angle PBA=\beta$, luego $\angle APE=180°-2\alpha$ y por ser $P$ circuncentro de $\triangle BAE$ resulta $\angle ABE=90°-\alpha \Rightarrow \angle ABF=90°-\alpha \Rightarrow \angle AFB=\alpha$, entonces $\angle CAE=\angle CAD=\angle BDA=\angle BFA=\alpha$, por lo que $A,P,C$ están alineados, luego $\angle BPC=2\beta =\angle BOC$.
Sea $\angle EBD=\gamma$, luego $\angle EQD=2\gamma \Rightarrow \angle QDE=90°-\gamma$. Como $BF$ es diámetro tenemos $\angle BDF=90°\Rightarrow \angle DFB=90°-\gamma$, por lo tanto $\angle CDE=\angle CDA=\angle DAB=\angle DFB=90°-\gamma$, entonces $D,Q,C$ están alineados.

Tenemos dos casos
Caso $1$: $Q$ está en la semirrecta $CD$
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Como $Q$ es circuncentro $QB=QD=QE$, luego $\angle BQC=2\angle QDB=2\angle CDB=2\angle CAB=2\beta=\angle BPC=\angle BOC$
Torneo 2018 NJ P5 (1).png
Caso $2$: $Q$ no está en la semirrecta $CD$
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Como $Q$ es circuncentro $QB=QD=QE$, luego $\angle BQC=\angle BQD=180°-2\angle QDB=180°-2\angle CDB=180°-2\angle CAB=180°-2\beta=180°-\angle BPC=180°-\angle BOC$
Torneo 2018 NJ P5 (2).png
En cualquier caso, por la posición de $Q$ respecto a los puntos $B,P,O,C$ resulta que los cinco puntos están sobre la misma circunferencia, en particular $P,Q,O,C$ están sobre una misma circunferencia.
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[math]

BrunZo

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Re: XI Torneo de las ciudades Otoño 2018 Norte-Nivel Juvenil Problema 5

Mensaje sin leer por BrunZo » Lun 10 Jun, 2019 5:43 pm

Solución:
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Lema:
Sea $X=AC\cap BD$. $CXOD$ es cíclico.
Demostración: $\angle COD=\angle CXD=2\angle CAD$.

Sean $L$, $M$ y $N$ los puntos medios de $BA$, $BE$ y $BD$. Ahora, $BM\perp MQ\land BN\perp NQ\Longrightarrow\angle MQN=\angle MBN=\angle OBD$. Además, por el Lema, $\angle XCO=\angle XDO=\angle BDO$. Finalemente, $\angle OBD=\angle BDO\Longrightarrow\angle XCO=\angle MQN$, de modo que $\angle PCO=\angle PQO$, por lo que que $CQOP$ es cíclico, como queríamos.

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