En el pizarrón está escrito un número de cuatro dígitos que no termina en $0$.
Carlos multiplicó el número del pizarrón por $4$, al resultado le sumó $30$ y escribió el número obtenido en su cuaderno.
Dora escribió en su cuaderno el número que se obtiene al leer los dígitos del número del pizarrón en sentido contrario. (Por ejemplo, si el número del pizarrón es $3702$, entonces Dora escribe el número $2073$ en su cuaderno).
Resultó que Carlos y Dora escribieron en su cuaderno el mismo número.
Determinar todos los posibles valores del número que está en el pizarrón.
ABCD representa al número inicial del pizarrón (cada letra un dígito). Sabemos entonces que ABCD . 4 + 30 = DCBA.
Facilmente se puede ver que DCBA será un número de 4 dígitos, por lo que si tiene que ser igual a ABCD . 4 + 30, ABCD no puede aumentar su cantidad de dígitos al cuadriplicarse. Esto nos deja a A pudiendo ser 0, 1 o 2, ya que 3000 . 4 = 12000, lo que ya nos daría un dígito más. A su vez sabemos que si es 2, B puede ser como máximo 4, porque 2000 . 4 = 8000, que sumado a 500 . 4 = 2000 ya daría 10000, es decir un dígito más.
Aparte sabemos que ABCD . 4 será múltiplo de 4, por lo que DCBA y 30 tienen que compartir congruencia (mod4) para que se cumpla ABCD . 4 = DCBA - 30. Sabemos entonces que DCBA tiene resto 2 mod4, y que, como 100 es múltiplo de 4, BA tendrá resto 2 mod4. Como todo múltiplo de 4 es par, al sumarle 2 se mantendrá su paridad, quedando A número par. Entonces, teniendo en cuenta lo de antes, A puede ser 0 o 2.
Busquemos entonces los números BA con resto 2 mod4 en los cuales A=0 o A=2 y B<5. Estos serían 10, 50, 90, 02, 22 y 42.
Si BA = 10 sucede lo siguiente:
01CD . 4 = DC10 - 30
Sabemos que DC10 - 30 = D(C-1)80, por lo que para que 01CD . 4 sea igual que eso, CD deberá ser 80 : 4 = 20. Esto haría que D sea 0, por lo que es una posibilidad ya descartada.
Si BA = 50,
05CD . 4 = DC50 - 30
Sabemos que DC50 - 30 = DC20, por lo que para que 05CD . 4 sea igual que eso, CD deberá ser 20 : 4 = 05. Entonces quedaría 0505 . 4 = 5050 - 30, cosa que no se cumple.
Si BA = 90,
09CD . 4 = DC90 - 30
Sabemos que DC90 - 30 = DC60, por lo que para que 09CD . 4 sea igual que eso, CD deberá ser 60 : 4 = 15. Entonces quedaría 0915 . 4 = 5190 - 30, algo que no es cierto.
Si BA = 02 tenemos lo siguiente:
20CD . 4 = DC02 - 30
Sabemos que DC02 - 30 = D(C-1)72, por lo que para que 20CD . 4 sea igual a eso, CD deberá ser 72 : 4 = 18. Entonces quedaría 2018 . 4 = 8102 - 30, cosa cierta y dejandonos con nuestra primer posibilidad.
Probemos lo mismo con BA = 22.
22CD . 4 = DC22 - 30
Sabemos que DC22 - 30 = D(C-1) 92, por lo que para que 22CD . 4 sea igual a eso, CD deberá ser 92 : 4 = 23. Entonces quedaría 2223 . 4 = 3222 - 30, cosa que en este caso no es cierta.
En el caso BA = 42,
24CD . 4 = DC42 - 30
Sabemos que DC42 - 30 = DC12, por lo que para que 24CD . 4 sea igual a eso, CD deberá ser 12 : 4 = 03. Entonces quedaría 2403 . 4 = 3042 - 30, cosa que no es cierta.
Esto nos deja con como único número posible a escribir en el pizarrón al 2018.
Última edición por Sol Sandleris el Jue 23 Nov, 2023 2:34 pm, editado 1 vez en total.
$ABCD$ representa al número inicial del pizarrón (cada letra un dígito). Sabemos entonces que $ABCD\times 4 + 30 = DCBA$.
Como $ABCD\times 4 + 30$ tiene que tener cuatro dígitos, $ABCD$ no puede aumentar su cantidad de dígitos al cuadriplicarse. Esto nos deja a $A$ pudiendo ser $0$, $1$ o $2$, ya que $3000\times 4 = 1200$, lo que ya nos daría un dígito más. Pero $A$ no puede ser $0$ al ser $ABCD$ un número de cuatro dígitos y $A$ no puede ser $1$ debido a que $DCBA=ABCD\times 4 + 30$ es un número par. Concluimos que $A=2$.
Como $A=2$ tenemos que $DCBA=ABCD\times 4 + 30>8000$ por lo que $D$ es $8$ o $9$ pero para que $ABCD\times 4 + 30$ termine en un dígito $2$ es necesario que $D=8$.
$B$ puede ser como máximo $2$, porque $2000\times 4 = 8000$, que sumado a $300\times 4 = 1200$ ya daría $9200$, pero $D=8$.
Si $B=2$ entonces $9000>ABCD\times 4 + 30=DCBA>8800$ por lo que $C$ es $8$ ó $9$ pero entonces $ABCD\times 4 + 30>2280\times 4=9120$, lo cual no es posible, así que $B$ no es $2$.
Si $B=1$ entonces el número formado por los últimos dos dígitos de $ABCD\times 4=DCBA-30$ es $82$, pero por el criterio de divisibilidad del $4$ estos dos últimos dígitos deberían formar un múltiplo de $4$ por lo que $B$ no puede ser $1$ y por lo tanto $B=0$.
Sabemos que $8C02 - 30 = 8(C-1)72$, por lo que para que $20C8\times 4$ sea igual a eso, $C8$ deberá ser $\frac{72}{4} = 18$. Entonces quedaría $2018\times 4 = 8102 - 30$.
Esto nos deja con como único número posible a escribir en el pizarrón al $2018$.
