Rioplatense 2018 - N1 P2

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Gianni De Rico

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Rioplatense 2018 - N1 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 06 Dic, 2018 7:13 am

Para cada entero positivo $m$, denotamos $S(m)$ a la suma de sus dígitos. Por ejemplo, $S(2018)=2+0+1+8=11$.
Decimos que un entero positivo $n$ es rioplatense si existe un entero positivo $m$ tal que $m+2S(m)=n$.
Determinar todos los enteros positivos que son rioplatenses.
[math]

BrunZo

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Re: Rioplatense 2018 - N1 P2

Mensaje sin leer por BrunZo » Mié 20 Mar, 2019 6:45 pm

Solución:
Spoiler: mostrar
Un análisis rápido mód $3$ nos da
$$n=m+2S(m)\equiv m+2m\equiv 0\mod 3$$
De este modo, todo número rioplatense es múltiplo de $3$.
Denotamos $f(m)=m+2S(m)$. Es obvio que $S(m+1)\leq S(m)+1$, por lo que $f(m+1)=f(m)+3$ ó $f(m+1)\leq f(m)$ (1). Además, sabemos que $f$ recorre únicamente los elementos de $3\mathbb{Z}$ (múltiplos de $3$). Entonces, $f$ no se "saltea" ningún elemento de $3\mathbb{Z}$, por lo que todo múltiplo de $3$ es rioplatense.
Un número es rioplatense si y sólo si es múltiplo de $3$.

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