Rioplatense 2018 - N3 P1

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Gianni De Rico

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Rioplatense 2018 - N3 P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 06 Dic, 2018 7:59 am

Determinar si existen $2018$ enteros positivos distintos tales que la suma de sus cuadrados es un cubo perfecto y la suma de sus cubos es un cuadrado perfecto.
[math]

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MateoCV

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Re: Rioplatense 2018 - N3 P1

Mensaje sin leer por MateoCV » Lun 10 Dic, 2018 3:47 pm

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Sea $C=1^2+2^2+\cdots +2018^2$. Luego los $2018$ enteros positivos $C^4, 2C^4, \cdots, 2018C^4$ cumplen ya que $C^8+2^2C^8+\cdots +2018^2C^8=(1^2+2^2+\cdots +2018^2)C^8=C^9=(C^3)^3$ es un cubo perfecto y $C^{12}+2^3C^{12}+\cdots +2018^3C^{12}=\left (\frac{2018\times 2019}{2} \right )^2 C^{12}=((2019\times 1009)C^6)^2$ es un cuadrado perfecto
Acá usamos que $1^3+2^3+\cdots +n^3=\left (\frac{n(n+1)}{2} \right )^2$
1  
$2^{82589933}-1$ es primo

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