OFO 2019 Problema 5

[AgusBarreto]

Para cada entero positivo $n$, sea $f(n)$ el mayor cubo perfecto menor o igual a $n$. Por ejemplo, $f(10)=8$ y $f(1)=1$. Sea $a$ un entero positivo. Definimos la sucesión $a_0,a_1, \ldots$ por $a_0=a$ y $a_{n+1}=3a_n-2f(a_n)$.
Hallar todos los valores de $a$ para los que esta sucesión está acotada.

Aclaración: Una sucesión $a_0,a_1, \ldots$ se dice acotada si existe una constante $M$ tal que $a_n<M$ para todo $n$.

[AgusBarreto]

Aquí publicaremos la solución oficial

[Turko Arias]

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Supongamos que existe algún subíndice $i$ tal que $a_i=k^3$ para algún entero positivo $k$, luego $a_{i+1}=3k^3-2f(k^3)=k^3$, luego si $a_{i}$ es un cubo perfecto, la sucesión es constante a partir de ese término, y, en particular, es acotada ya que la sucesión recorre una cantidad finita de valores. Luego, si $a_0$ es cubo perfecto la sucesión es acotada.
Veamos que si $a_0$ no es cubo perfecto la sucesión no es acotada, para eso supongamos ahora que para algún cierto subíndice $i$, $a_i$ no es un cubo perfecto, luego, existen $k$ y $b$ enteros positivos tales que $a_i=k^3+b$ y además $0<b \leq 3k^2+3k$. Tenemos entonces que $a_{i+1}=3a_i-2f(a_i)=3k^3+3b-2k^3=k^3+3b$. Vamos a ver que $a_{i+1}<(k+3)^3$. Tenemos $(k+3)^3=k^3+9k^2+27k+27$, por otro lado $a_{i+1}=k^3+3b \leq k^3+9k^2+9k<k^3+9k^2+27k+27=(k+3)^3$. Por lo que $a_{i+1}=$ "un cubo perfecto+un múltiplo de $3$". Pero por lo visto antes, pueden darse tres cosas:
$1) a_{i+1}=k^3+c$
$2) a_{i+1}=(k+1)^3+c$
$3) a_{i+1}=(k+2)^3+c$
Siendo $k^3$, $(k+1)^3$ y $(k+2)^3$ respectivamente en cada caso los mayores cubos perfectos menores o iguales que $a_{i+1}$ y $c$ "lo que sobra". Vamos a ver que siempre sucede que $c\neq 0$. Supongamos que $a_{i+1}=q^3$ para algún entero positivo $q$, luego, como $a_{i+1}=k^3+3b$ tenemos que $q^3 \equiv k^3(3)$, pero por otro lado $q^3 \equiv q(3)$ y $k^3 \equiv k(3)$, con lo que $q \equiv k(3)$, pero además claramente $q>k$, luego $q\geq k+3$ con lo que $q^3 \geq (k+3)^3$, pero habíamos probado que $a_{i+1}<(k+3)^3$, absurdo, luego es imposible que $a_{i+1}$ sea un cubo perfecto, y por ende siempre se cumple que $c\neq 0$. De este modo probamos que si en algún momento de la sucesión nos topamos con algún término que no es un cubo perfecto, entonces el siguiente tampoco lo será, iterando este razonamiento llegamos a que si un término no es cubo perfecto, todos los que le siguen no lo serán, en particular, si $a_0$ no es cubo perfecto, ningún elemento de la sucesión lo será, y por ende no estará acotada.

[enigma1234]

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Caso 1: $a$ es un cubo perfecto
Entonces $f(a)=a$ y entonces la sucesion es constante,es decir es acotada.
Caso 2: $a$ no es un cubo perfecto
Supongamos que existe $a_n$ que es un cubo perfecto entonces sea $m$ el menor tal que $a_m$ es un cubo perfecto entonces $a_{m-1}$ no es un cubo perfecto, sea $x$ tal que $x^3<a_{m-1}<{(x+1)}^3$, si $a_{m-1}=x^3+y$ entonces $a_m=x^3+3y>x^3$ y al ser $a_m$ un cubo mayor que $x^3$ y congruente en modulo 3 con este entonces:
$$a_m=x^3+3y\geq (x+3)^3\to 3y\geq 9x^2+27x+27\to y\geq 3x^2+9x+9$$
Pero como:

$x^3+y=a_{m-1}<{(x+1)}^3 \to y<3x^2+3x+1$.
Lo que es una contradiccion. Entonces ningun $a_n$ es un cubo perfecto entonces tenemos que $a_n>f(a_n)$ entonces $a_n$ es estrictamente creciente, esto es no acotada.
Por lo tanto los únicos $a$ que cumplen son los cubos prefectos

[Sandy]

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Veamos primero que si se puede llegar a cualquier $a_n=k^3$ con $k$ natural la sucesión será acotada, ya que $f(k^3)=k^3$, entonces $a_{n+1}=3a_n-2f(a_n)=3k^3-2k^3=k^3$, por lo que $a_n=a_{n+1}$, y todos los términos a partir de $a_n$ serán iguales a $a_n$, por lo que la sucesión será acotada. Notemos también que si nunca alcanza a un cubo perfecto, la sucesión será no acotada, ya que, si $a_n\neq k^3$, entonces $f(a_n)<a_n$, entonces $3a_n-2f(a_n)>3a_n-2a_n \Rightarrow a_{n+1}>a_n$, y como es una sucesión de enteros, aumentará siempre en mínimo 1, por lo que, de nunca darse que $a_n$ sea cubo perfecto, la sucesión será no acotada.
Ahora entonces sabemos que si $a=k^3$, la sucesión será acotada. Veamos entonces el caso si en la sucesión hay algún $a_n$ que no sea un cubo perfecto.
Como $a_n$ no es cubo perfecto, diremos que $f(a_n)=k^3<a_n$.
$k^3<a_n<(k+1)^3$
Entonces $3k^3-2k^3<3a_n-2k^3<3(k+1)^3-2k^3$
$k^3<a_{n+1}<3k^3+9k^2+9k+3-2k^3$
$k^3<a_{n+1}<k^3+9k^2+9k+3$
Pero notemos que $(k+3)^3=k^3+9k^2+27k+27> k^3+9k^2+9k+3$ (ya que para todo $k>0$, $27k+27>9k+3$ )
Entonces tenemos que:
$k^3<a_{n+1}<k^3+9k^2+9k+3<(k+3)^3$
Por lo que, de ser $a_{n+1}$ un cubo perfecto, podrá ser solamente $(k+1)^3$ o $(k+2)^3$, ya que se encuentra entre $k^3$ y $(k+3)^3$.
Veamos los dos casos:
a) $3a_n-2k^3=(k+1)^3$
$3a_n=k^3+3k^2+3k+1+2k^3$
$3a_n=3k^3+3k^2+3k+1$
$3a_n=3(k^3+k^2+k)+1$
Pero esto es un absurdo, ya que, mirando congruencia módulo $3$, tenemos que el miembro izquierdo es congruente a $0$, mientras que el derecho es congruente a $1$.

b) $3a_n-2k^3=(k+2)^3$
$3a_n=k^3+6k^2+12k+8+2k^3$
$3a_n=3k^3+6k^2+12k+8$
$3a_n=3(k^3+2k^2+4k)+8$
Pero llegamos nuevamente a un absurdo, ya que, mirando congruencia módulo $3$ de nuevo, tenemos que el miembro izquierdo es congruente a $0$, mientras que el derecho es congruente a $2$.

Por lo tanto, queda probado que, si $a_n$ no es un cubo perfecto, $a_{n+1}$ tampoco lo será, por lo que, si $a$ no es un cubo perfecto, la sucesión será estrictamente creciente, con $a_{n+1}-a_n \geq 1$, por lo que, para que la sucesión sea acotada, $a$ tiene que ser un cubo perfecto.

[nico ferres]

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Para comenzar escribimos $a = k^3 + r$ , con $0\leq r< (k+1)^3-k^3 = 3k^2+3k+1$

Es claro que $f(a) = k^3$

Si $r = 0$, entonces $a_n = a$, $\forall n \in \mathbb{N_0}$ , ya que $a_0 = a$.
Supongamos que para $k \in \mathbb{N_0}$, se cumple que $a_k = a$, entonces $a_{k+1} = 3a_k - 2f(a_k) = 3(k^3)-2k^3 = k^3 = a$.
Luego por el principio de induccion, se cumple que $a_n = a$, $\forall n \in \mathbb{N_0}$.

Entonces si $a$ es un cubo perfecto, la sucesion de $a_n$ esta acotada por $M = a+1$.

Probaremos que si $a$ no es un cubo perfecto ( $r>0$ ), entonces la sucesión es estrictamente creciente, y como esta en los enteros, no estaria acotada.

Separemos en dos casos:

Primer caso: $\boxed{ f(a_{n+1}) = f(a_n)}$

Tenemos que $a_{n+1} = 3a_n - 2f(a_n) = 3(k^3+r) - 2k^3 = k^3 +3r > k^3+r = a_n$
(Notemos que $f(a_{n+k}) = f(a_n) = k^3$ siempre que $3^k * r < 3k^2+3k+1$ , ya que sino, $f(a_{n+k}) \geq (k+1)^3$

Entonces mientras eso suceda, la sucesion sera de la forma $k^3+r , k^3+3r , \ldots , k^3+3^l *r $.
En estos casos, como la sucesion es creciente, no hay problema.

Segundo caso: $\boxed { f(a_{n+1})> f(a_n) = k^3 } $

Primero veamos que $f(a_{n+1}) < (k+3)^3$

Para eso, notemos que $a_{n+1} = 3a_n - 2f(a_n) = k^3+3r < k^3 + 3(3k^2+3k+1) = k^3 + 9k^2+9k+3 < k^3+9k^2+27k+27 = (k+3)^3$

Luego $f(a_{n+1}) = (k+j)^3$ con $j = 1,2$

Se sabe que $a_{n} = k^3+3r \geq f(a_{n})$, por lo tanto $a_{n+1} = 3a_n - f(a_n) = a_n +2(a_n-f(a_n))> a_n$
(ya que $r>0$, por ende $a_n>f(a_n)$)

Solo queda probar que la solucion nunca arriba a un cubo. (es decir, que nunca pasa que $a_{n+1} = a_n$)

Para eso, suponemos que $a_{n+1} = k^3+3r = (k+j)^3$ con $j = 1,2$

Pero entonces $k^3 + 3r = k^3 +3k^2j+3j^2k+j^3$ y
$j^3 = 3(r-k^2j-kj^2)$, lo cual es imposible porque $3$ no divide a $j$.

Con esto hemos probado que la sucesion esta acotada por $M=a+1$ si $a$ es un cubo perfecto, o es estrictamente creciente si no lo es (y como estamos en naturales) no estaria acotada.

[Violeta]

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Caso 1: $a$ es un cubo perfecto
Entonces $f(a)=a$ y entonces la sucesion es constante,es decir es acotada.
Caso 2: $a$ no es un cubo perfecto
Supongamos que existe $a_n$ que es un cubo perfecto entonces sea $m$ el menor tal que $a_m$ es un cubo perfecto entonces $a_{m-1}$ no es un cubo perfecto, sea $x$ tal que $x^3<a_{m-1}<{(x+1)}^3$, si $a_{m-1}=x^3+y$ entonces $a_m=x^3+3y>x^3$ y al ser $a_m$ un cubo mayor que $x^3$ y congruente en modulo 3 con este entonces:
$$a_m=x^3+3y\geq (x+3)^3\to 3y\geq 9x^2+27x+27\to y\geq 3x^2+9x+9$$
Pero como:

$x^3+y=a_{m-1}<{(x+1)}^3 \to y<3x^2+3x+1$.
Lo que es una contradiccion. Entonces ningun $a_n$ es un cubo perfecto entonces tenemos que $a_n>f(a_n)$ entonces $a_n$ es estrictamente creciente, esto es no acotada.
Por lo tanto los únicos $a$ que cumplen son los cubos prefectos

Efectivamemte escribimos la misma solución