OFO 2019 Problema 4

[Fran5]

Hallar todos los enteros $x,y,z$ tales que $$x^3 + 2y^3 = 4z^3.$$

[Fran5]

Solución Oficial 1

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Observemos primeramente que $(x,y,z) = (0,0,0)$ es una solución a la ecuación.
A partir de ahora supondremos que para toda terna $(x,y,z)$ no son los tres nulos.

Consideremos la función $S(x,y,z) =|x|^3+2|y|^3+4|z|^3$. Es claro que $S(x,y,z)$ será positivo para toda solución no nula.
Luego, de entre todas las soluciones a la ecuación, deberá haber una $(x,y,z)$ tal que $S$ será mínimo.

Es claro que $x^3 = 4z^3-2y^3$, con lo cual $x$ debe ser par. En este caso, poniendo $x= 2w$, obtenemos lo siguiente
$$8w^3 = (2w)^3 = x^3 = 4z^3-2y^3 = 2((-y)^3 + 2z^3)$$
Y dividiendo todo por $2$ obtenemos $(-y)^3 + 2z^3 = 4w^3$, con lo cual $(-y,z, w)$ es una solución donde no todos son nulos. Pero $$0 < S(-y,z,w) = |y|^3 + 2|z|^3 + 4|w|^3 = \frac{2|y|^2+4|z|^3+8|w|^3}{2} = \frac{S(x,y,z)}{2} < S(x,y,z)$$
Lo cual es un absurdo, puesto que $(x,y,z)$ minimizaba $S$. Luego no hay más soluciones y la única es la trivial $(x,y,z ) = (0,0,0)$

Solución Oficial 2

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Observemos primeramente que $(x,y,z) = (0,0,0)$ es una solución a la ecuación.
A partir de ahora supondremos que para toda terna $(x,y,z)$ no son los tres nulos.

En particular, podemos definir para cada solución $(x,y,z)$ su máximo común divisor $d = mcd(x,y,z)$.

Supongamos que $(x,y,z)$ es una solución donde no son todos nulos. Entonces $d = mcd(x,y,z) > 0$. Además, si $x' = \frac{x}{d}, y' = \frac{y}{d}, z' = \frac{z}{d}$, entonces notamos que $(x',y',z')$ también es solución con $d' = mcd(x',y',z') = 1$.

Sin embargo, viendo la solución $\pmod{4}$ (esta es una herramienta poderosísima), obtenemos que $$x'^3 = 2y'^3 + 4z'^3 \equiv 2y'^3 \pmod{4}$$ sólo tiene solución cuando $x',y'$ son ambos pares. Pero entonces resultaría que $z'$ también sería par. Esto es absurdo, puesto que $(x',y',z')$ eran coprimos entre sí. Luego no hay más soluciones y la única es la trivial $(x,y,z) = (0,0,0)$

[enigma1234]

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Supognamos que exista una solucion tal que no todos son $0s$ sea $(x_0,y_0,z_0)$ la solucion tal que $S=|x|+|y|+|z|$ es minimo. Si $a_1=\frac {a_0}{2}$ para $a=x,y,z$ entonces de la ecuacion es claro que $x_0$ es par ,luego modulo 4 $y_0$ es par, y modulo 8 $z_0$ es par entonces dividiendo todo entre 8 entonces $(x_1,y_1,z_1)$ es solucion y $S'$ es menor lo que es una contradiccion.
Por lo tanto la unica solucion es $(0,0,0)$

[Gianni De Rico]

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Otra forma es ver que como $(x,y,z)$ es solución implica $(\frac{x}{2},\frac{y}{2},\frac{z}{2})$ es solución, entonces $(\frac{x}{2^k},\frac{y}{2^k},\frac{z}{2^k})$ es solución para todo $k\in \mathbb{N}_0$, por lo que $2^k\mid x$ para todo $k$, de donde $x=0$ (y análogamente $y=z=0$), entonces la única solución posible es $(0,0,0)$ y claramente verifica.

[Violeta]

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Otra forma es ver que como $(x,y,z)$ es solución implica $(\frac{x}{2},\frac{y}{2},\frac{z}{2})$ es solución, entonces $(\frac{x}{2^k},\frac{y}{2^k},\frac{z}{2^k})$ es solución para todo $k\in \mathbb{N}_0$, por lo que $2^k\mid x$ para todo $k$, de donde $x=0$ (y análogamente $y=z=0$), entonces la única solución posible es $(0,0,0)$ y claramente verifica.

Buenoooo...

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De verdad que no. El razonamiento inverso es correcto. Si $(a,b,c)$ es solucion, $(ka,kb,kc)$ es solucion, para $k$ entero. No puedes dividir todos por $2$, pues si alguno no fuera par, no serían todos enteros. La forma de hacerlo es asumir que son relativamente primos y luego probar que todos son pares, llegando a un absurdo. O un absurdo, como dijo enigma.

[Sandy]

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Primero veamos brevemente que si $(x,y,z)$ cumple, entonces $(-x,-y,-z)$ cumple (y es recíproco ya que $-(-x)=x$).

Partiendo de que $x^3 + 2y^3 = 4z^3$

$(-x)^3 + 2(-y)^3 = 4(-z)^3$
$-x^3 + 2(-y^3) = 4(-z^3)$
$-x^3 - 2y^3 = -4z^3$
Y multiplicando por $-1$ en ambos miembros queda
$x^3 + 2y^3 = 4z^3$, que sabemos que es cierto, por lo que queda demostrado.

Entonces, primero notemos que la terna $(0,0,0)$ cumple, ya que $0^3 + 2\times 0^3 = 4\times 0^3$

Suponiendo que existe alguna terna de números no nulos, llamemos $d$ al máximo común divisor entre $x,y,z$, tal que

$x=d.x'$
$y=d.y'$
$z=d.z'$

Con $x',y',z'$ coprimos (no necesariamente dos a dos)

$d^3x'^3+2d^3y'^3=4d^3z'^3$

Dividiendo ambos miembros por $d^3$

$x'^3 + 2y'^3 = 4z'^3$

Notemos que $x'^3$ debe ser par, ya que sumado a un número par ($2y'^3$) da como resultado otro número par ($4z'^3$).

Luego, como $x'^3$ es par, $x'$ también lo es. Como $x'$ es par, $x'^3$ será múltiplo de $8$, y obviamente también de $4$.

Luego, $2y'^3$ sumado a un múltiplo de 4 ($x'^3$) da como resultado otro múltiplo de 4 ($4z'^3$), por lo que $2y'^3$ también debe serlo.

Como $2y'^3$ es múltiplo de 4, $y'^3$ debe de ser múltiplo de $2$. Siguiendo el mismo razonamiento que con $x'$, concluimos que $y'$ debe ser múltiplo de $2$ y que $y'^3$ debe ser múltiplo de $8$.

Ahora bien, sumando dos múltiplos de 8 ($x'^3 + 2y'^3$), el resultado ($4z'^3$) tiene que ser múltiplo de $8$.

Por lo tanto, $z'^3$ tiene que tener algún $2$ entre sus divisores. De nuevo, siguiendo el mismo razonamiento que antes, llegamos a que $z'$ tiene que ser múltiplo de $2$.

Pero llegamos a una contradicción, ya que $x',y',z'$ son coprimos, pero son todos divisibles por $2$. Entonces no hay ninguna terna con números no nulos que satisfaga.

Probemos ahora con ternas con algunas de las variables nulas:

$x=0$

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$2y^3=4z^3$
$y^3=2^1z^3$
Notemos que la cantidad de factores $2$ en la descomposición en primos del miembro de la izquierda será múltiplo de 3, mientras que la cantidad en el miembro derecho será congruente a 1(mod3), por lo que $x$ no puede ser $0$

$y=0$

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$x^3=4z^3$
$x^3=2^2z^3$
Notemos que la cantidad de factores $2$ en la descomposición en primos del miembro de la izquierda será múltiplo de 3, mientras que la cantidad en el miembro derecho será congruente a 2(mod3), por lo que $y$ no puede ser $0$

$z=0$

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$x^3+2y^3=0$
$x^3=2^1(-y)^3$
Notemos que la cantidad de factores $2$ en la descomposición en primos del miembro de la izquierda será múltiplo de 3, mientras que la cantidad en el miembro derecho será congruente a 1(mod3), por lo que $z$ tampoco puede ser $0$

Queda entonces probado que la única terna de tres números enteros que cumple $x^3 + 2y^3 = 4z^3$ es $(x,y,z)=(0,0,0)$

[Gianni De Rico]

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Otra forma es ver que como $(x,y,z)$ es solución implica $(\frac{x}{2},\frac{y}{2},\frac{z}{2})$ es solución, entonces $(\frac{x}{2^k},\frac{y}{2^k},\frac{z}{2^k})$ es solución para todo $k\in \mathbb{N}_0$, por lo que $2^k\mid x$ para todo $k$, de donde $x=0$ (y análogamente $y=z=0$), entonces la única solución posible es $(0,0,0)$ y claramente verifica.

Buenoooo...

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De verdad que no. El razonamiento inverso es correcto. Si $(a,b,c)$ es solucion, $(ka,kb,kc)$ es solucion, para $k$ entero. No puedes dividir todos por $2$, pues si alguno no fuera par, no serían todos enteros. La forma de hacerlo es asumir que son relativamente primos y luego probar que todos son pares, llegando a un absurdo. O un absurdo, como dijo enigma.

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Fijate que enigma prueba que son todos divisibles por $2$, yo estaba usando eso en mi comentario.
No subo mi solución porque la parte importante es prácticamente idéntica, y solamente cambia cómo uso eso para demostrar que $(0,0,0)$ es la única solución.