OFO 2019 Problema 1

[Chino2000]

En un famoso circo, el mago Beto elige al azar un voluntario del público para hacer un truco de magia. Le pide a esta persona que realice tres pasos: primero, le pide que piense dos enteros positivos y que los sume. Segundo, le pide que eleve esa suma al cuadrado. Y tercero, le pide que a ese último resultado le sume alguno de los dos enteros positivos que había pensado inicialmente. Terminado este proceso, la persona le dice al mago el resultado obtenido.

(a) Determinar si es posible que la persona diga $100000$

(b) Determinar si es posible que la persona diga $2019$

En cada caso: si es posible, encontrar los dos números que debe decir el mago para sorprender al público adivinando; y si no es posible, explicar por qué.

[Chino2000]

Aquí publicaremos la solución oficial

[enigma1234]

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Supongamos que un numero $M$ puede ser dicho.
Si la persona elige $x$ e $y$ y el le dice al mago el numero $M=(x+y)^2+x$.
Es claro que: $(x+y)^2<M<(x+y)^2+x+y\to (2x+2y)^2<4M<(2x+2y+1)^2$.
Entonces $[\sqrt{4M}] =2x+2y$ osea un numero par,y si tenemos un $M$ que cumple esto entonces $x+y$ esta fijo luego $x$ esta fijo por lo que $y$ es fijo.
a)$M=100000\to [\sqrt{4M}]=632$ por lo que si existen($(144+172)^2+144=100000$).
b)$M=2019\to [\sqrt{4M}]=89$ por lo que por lo anterior no es posible.

[enigma1234]

.

[Sandy]

Spoiler: mostrar

Vamos a generalizar primero: supongamos que los dos números que piensa son $a$ y $b$, siendo $a$ el que suma al final, y $k$ el número que dice en voz alta el voluntario, queda:

$(a+b)^2+a=k$

Expandiendo,

$a^2+2ab+b^2+a=k$

Estableciendo la cuadrática en función de $a$:

$a^2+2ab+b^2+a=k$

$a^2+a \times (2b+1)+(b^2-k)=0$

$a=\frac{-(2b+1)+\sqrt{(2b+1)^2-4 \times 1 \times (b^2-k)}}{2 \times 1}$

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{(2b)^2+2 \times 2b \times 1+1^2-4b^2+4k}}{2}$

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{4b^2+4b+1-4b^2+4k}}{2}$

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{4b+4k+1}}{2}$


Ahora estableciéndola en función de $b$:

$a^2+2ab+b^2+a=k$

$b^2+b \times 2a+(a^2+a-k)+0$

$b=\frac{-(2a)+\sqrt{(2a)^2-4 \times 1 \times (a^2+a+k)}}{2 \times 1}$

$b=\frac{-2a}{2} + \frac{\sqrt{4a^2-4a^2-4a+4k}}{2}$

$b=-a + \sqrt{\frac{-4a+4k}{4}}$

$b=-a + \sqrt{-a+k}$

(en ambos casos, como el coeficiente principal y la variable independiente (primero $a$ y después $b$) son positivos, tomamos sólo la parte positiva de la raíz del discriminante)


Ahora, como queremos que $a$ y $b$ sean positivos, tenemos las siguientes dos inecuaciones:

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{4b+4k+1}}{2} \Rightarrow \frac{-2b-1+\sqrt{4b+4k+1}}{2}> 0 \Rightarrow -2b-1+\sqrt{4b+4k+1}> 0$

$b=-a + \sqrt{-a+k} \Rightarrow -a+\sqrt{-a+k}>0$

Vamos a usar la segunda de éstas:

$-a + \sqrt{-a+k}> 0$

$k-a>a^2$

$a^2+a-k<0$

Completando cuadrados:

$a^2+2 \frac{1}{2} a + \left ( \sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \right )-k<0$

$\left (a+\sqrt{\frac{1}{2}} \right )^2<k+\sqrt{\frac{1}{2}}$

$|a+\sqrt{\frac{1}{2}}|<\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}$

$-\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}<a+\sqrt{\frac{1}{2}}<\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}$

$-\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}<a<\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$



Ahora ya sí separamos los dos casos:

(a) $k=100000$

$-\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}<a<\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$


$-\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx -316,94$ y $\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx 315,52$

Entonces como $a$ es un entero positivo, $0<a<316$

Y ahora, volviendo a la expresión de $b$ en función de $a$, tenemos que

$b=-a + \sqrt{-a+100000}$

Como $b$ es entero, $-a+100000$ tiene que ser un cuadrado perfecto. Como $0<a<316$, entonces $99684<-a+100000<100000$

$\sqrt{100000}>316>\sqrt{99684}$, y el único cuadrado perfecto entre $99684$ y $100000$ es $316^2=99856$, por lo que $-a+100000$ sólo puede ser $99856$, con lo que queda que $a=144$, entonces:

$(a+b)^2=k=100000=(144+b)^2+144$

$\sqrt{100000-144}-144=b$

$b=172$, por lo que, no sólo es posible que el voluntario diga 100000, sino que, de decir éste 100000, el mago puede adivinar los dos números con seguridad, ya que $144$ y $172$ es el único par de números posible.



(b) $k=2019$

$-\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}<a<\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$

$-\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx -45,65$ y $\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx 44,23$

Entonces como $a$ es un entero positivo, $0<a<45$

Y ahora, volviendo a la expresión de $b$ en función de $a$, tenemos que

$b=-a + \sqrt{-a+2019}$

Como $b$ es entero, $-a+2019$ tiene que ser un cuadrado perfecto. Como $0<a<45$, entonces $1974<-a+2019<2019$

Pero $44<\sqrt{1974}<\sqrt{2019}<45$, entonces no hay ningún cuadrado perfecto entre $1974$ y $2019$, por lo tanto no hay ningún par de números que el voluntario puede pensar que hagan que diga en voz alta el número 2019.

[nico ferres]

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Para comenzar, notemos que si los numeros pensados son $a$ y $b$ entonces los resultados obtenidos son de la forma $(a+b)^2+a$ o $(a+b)^2+b$. Sin perdida de generalidad, suponemos que los mismos son del primer tipo, debido a q ue por simetria podríamos obtener el segundo tipo.

Sea $k = a+b$ y $r = a$, claramente $k>r$.

Veamos que si quiero resultado $x$, existe un solo $k$ que cumple las condiciones ( y es $k = \left \lfloor \sqrt{x} \right \rfloor $ ).

Para esto supongamos que existe un $k' < k $ que cumple que $x = k'^2 + r' $ con $r'<k'$ , pero entonces, $k^2-k'^2 \leq k^2 - (k-1)^2 = 2k-1$

Luego $r' = x - k'^2 = k^2+r-k'^2 > 2k-1 +r > k > k'$ lo cual es un absurdo, luego dicho $k$ es único.

Pero entonces solo basta ver que para los casos a) y b) se cumpla que $k>r$.

a) $x = 10 ^5 $

Luego $k = \left \lfloor \sqrt{10^5} \right \rfloor = 316$ y entonces $r = 10^5- 316^2 = 144$

Por lo tanto quedan univocamente definidos $a$ y $b$ , ya que $a = 144$ y $a+b = 316$, luego $b = 172$

b) $ x =2019$

Luego $k = \left \lfloor \sqrt{2019} \right \rfloor = 44$ y entonces $r = 2019 - 44^2 = 83$

Pero en este caso no se cumple que $k> r$, por lo tanto no existen enteros positivos $a$ y $b$ que cumplan lo pedido.

[Turko Arias]

Spoiler: mostrar

Vamos a generalizar primero: supongamos que los dos números que piensa son $a$ y $b$, siendo $a$ el que suma al final, y $k$ el número que dice en voz alta el voluntario, queda:

$(a+b)^2+a=k$

Expandiendo,

$a^2+2ab+b^2+a=k$

Estableciendo la cuadrática en función de $a$:

$a^2+2ab+b^2+a=k$

$a^2+a \times (2b+1)+(b^2-k)=0$

$a=\frac{-(2b+1)+\sqrt{(2b+1)^2-4 \times 1 \times (b^2-k)}}{2 \times 1}$

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{(2b)^2+2 \times 2b \times 1+1^2-4b^2+4k}}{2}$

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{4b^2+4b+1-4b^2+4k}}{2}$

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{4b+4k+1}}{2}$


Ahora estableciéndola en función de $b$:

$a^2+2ab+b^2+a=k$

$b^2+b \times 2a+(a^2+a-k)+0$

$b=\frac{-(2a)+\sqrt{(2a)^2-4 \times 1 \times (a^2+a+k)}}{2 \times 1}$

$b=\frac{-2a}{2} + \frac{\sqrt{4a^2-4a^2-4a+4k}}{2}$

$b=-a + \sqrt{\frac{-4a+4k}{4}}$

$b=-a + \sqrt{-a+k}$

(en ambos casos, como el coeficiente principal y la variable independiente (primero $a$ y después $b$) son positivos, tomamos sólo la parte positiva de la raíz del discriminante)


Ahora, como queremos que $a$ y $b$ sean positivos, tenemos las siguientes dos inecuaciones:

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{4b+4k+1}}{2} \Rightarrow \frac{-2b-1+\sqrt{4b+4k+1}}{2}> 0 \Rightarrow -2b-1+\sqrt{4b+4k+1}> 0$

$b=-a + \sqrt{-a+k} \Rightarrow -a+\sqrt{-a+k}>0$

Vamos a usar la segunda de éstas:

$-a + \sqrt{-a+k}> 0$

$k-a>a^2$

$a^2+a-k<0$

Completando cuadrados:

$a^2+2 \frac{1}{2} a + \left ( \sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \right )-k<0$

$\left (a+\sqrt{\frac{1}{2}} \right )^2<k+\sqrt{\frac{1}{2}}$

$|a+\sqrt{\frac{1}{2}}|<\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}$

$-\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}<a+\sqrt{\frac{1}{2}}<\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}$

$-\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}<a<\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$



Ahora ya sí separamos los dos casos:

(a) $k=100000$

$-\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}<a<\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$


$-\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx -316,94$ y $\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx 315,52$

Entonces como $a$ es un entero positivo, $0<a<316$

Y ahora, volviendo a la expresión de $b$ en función de $a$, tenemos que

$b=-a + \sqrt{-a+100000}$

Como $b$ es entero, $-a+100000$ tiene que ser un cuadrado perfecto. Como $0<a<316$, entonces $99684<-a+100000<100000$

$\sqrt{100000}>316>\sqrt{99684}$, y el único cuadrado perfecto entre $99684$ y $100000$ es $316^2=99856$, por lo que $-a+100000$ sólo puede ser $99856$, con lo que queda que $a=144$, entonces:

$(a+b)^2=k=100000=(144+b)^2+144$

$\sqrt{100000-144}-144=b$

$b=172$, por lo que, no sólo es posible que el voluntario diga 100000, sino que, de decir éste 100000, el mago puede adivinar los dos números con seguridad, ya que $144$ y $172$ es el único par de números posible.



(b) $k=2019$

$-\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}<a<\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$

$-\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx -45,65$ y $\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx 44,23$

Entonces como $a$ es un entero positivo, $0<a<45$

Y ahora, volviendo a la expresión de $b$ en función de $a$, tenemos que

$b=-a + \sqrt{-a+2019}$

Como $b$ es entero, $-a+2019$ tiene que ser un cuadrado perfecto. Como $0<a<45$, entonces $1974<-a+2019<2019$

Pero $44<\sqrt{1974}<\sqrt{2019}<45$, entonces no hay ningún cuadrado perfecto entre $1974$ y $2019$, por lo tanto no hay ningún par de números que el voluntario puede pensar que hagan que diga en voz alta el número 2019.

Un degenerado total jajajajajajajaja

[Sandy]

Spoiler: mostrar

Vamos a generalizar primero: supongamos que los dos números que piensa son $a$ y $b$, siendo $a$ el que suma al final, y $k$ el número que dice en voz alta el voluntario, queda:

$(a+b)^2+a=k$

Expandiendo,

$a^2+2ab+b^2+a=k$

Estableciendo la cuadrática en función de $a$:

$a^2+2ab+b^2+a=k$

$a^2+a \times (2b+1)+(b^2-k)=0$

$a=\frac{-(2b+1)+\sqrt{(2b+1)^2-4 \times 1 \times (b^2-k)}}{2 \times 1}$

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{(2b)^2+2 \times 2b \times 1+1^2-4b^2+4k}}{2}$

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{4b^2+4b+1-4b^2+4k}}{2}$

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{4b+4k+1}}{2}$


Ahora estableciéndola en función de $b$:

$a^2+2ab+b^2+a=k$

$b^2+b \times 2a+(a^2+a-k)+0$

$b=\frac{-(2a)+\sqrt{(2a)^2-4 \times 1 \times (a^2+a+k)}}{2 \times 1}$

$b=\frac{-2a}{2} + \frac{\sqrt{4a^2-4a^2-4a+4k}}{2}$

$b=-a + \sqrt{\frac{-4a+4k}{4}}$

$b=-a + \sqrt{-a+k}$

(en ambos casos, como el coeficiente principal y la variable independiente (primero $a$ y después $b$) son positivos, tomamos sólo la parte positiva de la raíz del discriminante)


Ahora, como queremos que $a$ y $b$ sean positivos, tenemos las siguientes dos inecuaciones:

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{4b+4k+1}}{2} \Rightarrow \frac{-2b-1+\sqrt{4b+4k+1}}{2}> 0 \Rightarrow -2b-1+\sqrt{4b+4k+1}> 0$

$b=-a + \sqrt{-a+k} \Rightarrow -a+\sqrt{-a+k}>0$

Vamos a usar la segunda de éstas:

$-a + \sqrt{-a+k}> 0$

$k-a>a^2$

$a^2+a-k<0$

Completando cuadrados:

$a^2+2 \frac{1}{2} a + \left ( \sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \right )-k<0$

$\left (a+\sqrt{\frac{1}{2}} \right )^2<k+\sqrt{\frac{1}{2}}$

$|a+\sqrt{\frac{1}{2}}|<\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}$

$-\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}<a+\sqrt{\frac{1}{2}}<\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}$

$-\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}<a<\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$



Ahora ya sí separamos los dos casos:

(a) $k=100000$

$-\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}<a<\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$


$-\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx -316,94$ y $\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx 315,52$

Entonces como $a$ es un entero positivo, $0<a<316$

Y ahora, volviendo a la expresión de $b$ en función de $a$, tenemos que

$b=-a + \sqrt{-a+100000}$

Como $b$ es entero, $-a+100000$ tiene que ser un cuadrado perfecto. Como $0<a<316$, entonces $99684<-a+100000<100000$

$\sqrt{100000}>316>\sqrt{99684}$, y el único cuadrado perfecto entre $99684$ y $100000$ es $316^2=99856$, por lo que $-a+100000$ sólo puede ser $99856$, con lo que queda que $a=144$, entonces:

$(a+b)^2=k=100000=(144+b)^2+144$

$\sqrt{100000-144}-144=b$

$b=172$, por lo que, no sólo es posible que el voluntario diga 100000, sino que, de decir éste 100000, el mago puede adivinar los dos números con seguridad, ya que $144$ y $172$ es el único par de números posible.



(b) $k=2019$

$-\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}<a<\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$

$-\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx -45,65$ y $\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx 44,23$

Entonces como $a$ es un entero positivo, $0<a<45$

Y ahora, volviendo a la expresión de $b$ en función de $a$, tenemos que

$b=-a + \sqrt{-a+2019}$

Como $b$ es entero, $-a+2019$ tiene que ser un cuadrado perfecto. Como $0<a<45$, entonces $1974<-a+2019<2019$

Pero $44<\sqrt{1974}<\sqrt{2019}<45$, entonces no hay ningún cuadrado perfecto entre $1974$ y $2019$, por lo tanto no hay ningún par de números que el voluntario puede pensar que hagan que diga en voz alta el número 2019.

Un degenerado total jajajajajajajaja

No entiendo qué hice mal además de desarrollar todas las cuadráticas pero eso es costumbre

[jujumas]

Spoiler: mostrar

Vamos a generalizar primero: supongamos que los dos números que piensa son $a$ y $b$, siendo $a$ el que suma al final, y $k$ el número que dice en voz alta el voluntario, queda:

$(a+b)^2+a=k$

Expandiendo,

$a^2+2ab+b^2+a=k$

Estableciendo la cuadrática en función de $a$:

$a^2+2ab+b^2+a=k$

$a^2+a \times (2b+1)+(b^2-k)=0$

$a=\frac{-(2b+1)+\sqrt{(2b+1)^2-4 \times 1 \times (b^2-k)}}{2 \times 1}$

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{(2b)^2+2 \times 2b \times 1+1^2-4b^2+4k}}{2}$

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{4b^2+4b+1-4b^2+4k}}{2}$

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{4b+4k+1}}{2}$


Ahora estableciéndola en función de $b$:

$a^2+2ab+b^2+a=k$

$b^2+b \times 2a+(a^2+a-k)+0$

$b=\frac{-(2a)+\sqrt{(2a)^2-4 \times 1 \times (a^2+a+k)}}{2 \times 1}$

$b=\frac{-2a}{2} + \frac{\sqrt{4a^2-4a^2-4a+4k}}{2}$

$b=-a + \sqrt{\frac{-4a+4k}{4}}$

$b=-a + \sqrt{-a+k}$

(en ambos casos, como el coeficiente principal y la variable independiente (primero $a$ y después $b$) son positivos, tomamos sólo la parte positiva de la raíz del discriminante)


Ahora, como queremos que $a$ y $b$ sean positivos, tenemos las siguientes dos inecuaciones:

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{4b+4k+1}}{2} \Rightarrow \frac{-2b-1+\sqrt{4b+4k+1}}{2}> 0 \Rightarrow -2b-1+\sqrt{4b+4k+1}> 0$

$b=-a + \sqrt{-a+k} \Rightarrow -a+\sqrt{-a+k}>0$

Vamos a usar la segunda de éstas:

$-a + \sqrt{-a+k}> 0$

$k-a>a^2$

$a^2+a-k<0$

Completando cuadrados:

$a^2+2 \frac{1}{2} a + \left ( \sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \right )-k<0$

$\left (a+\sqrt{\frac{1}{2}} \right )^2<k+\sqrt{\frac{1}{2}}$

$|a+\sqrt{\frac{1}{2}}|<\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}$

$-\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}<a+\sqrt{\frac{1}{2}}<\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}$

$-\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}<a<\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$



Ahora ya sí separamos los dos casos:

(a) $k=100000$

$-\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}<a<\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$


$-\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx -316,94$ y $\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx 315,52$

Entonces como $a$ es un entero positivo, $0<a<316$

Y ahora, volviendo a la expresión de $b$ en función de $a$, tenemos que

$b=-a + \sqrt{-a+100000}$

Como $b$ es entero, $-a+100000$ tiene que ser un cuadrado perfecto. Como $0<a<316$, entonces $99684<-a+100000<100000$

$\sqrt{100000}>316>\sqrt{99684}$, y el único cuadrado perfecto entre $99684$ y $100000$ es $316^2=99856$, por lo que $-a+100000$ sólo puede ser $99856$, con lo que queda que $a=144$, entonces:

$(a+b)^2=k=100000=(144+b)^2+144$

$\sqrt{100000-144}-144=b$

$b=172$, por lo que, no sólo es posible que el voluntario diga 100000, sino que, de decir éste 100000, el mago puede adivinar los dos números con seguridad, ya que $144$ y $172$ es el único par de números posible.



(b) $k=2019$

$-\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}<a<\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$

$-\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx -45,65$ y $\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx 44,23$

Entonces como $a$ es un entero positivo, $0<a<45$

Y ahora, volviendo a la expresión de $b$ en función de $a$, tenemos que

$b=-a + \sqrt{-a+2019}$

Como $b$ es entero, $-a+2019$ tiene que ser un cuadrado perfecto. Como $0<a<45$, entonces $1974<-a+2019<2019$

Pero $44<\sqrt{1974}<\sqrt{2019}<45$, entonces no hay ningún cuadrado perfecto entre $1974$ y $2019$, por lo tanto no hay ningún par de números que el voluntario puede pensar que hagan que diga en voz alta el número 2019.

Un degenerado total jajajajajajajaja

No entiendo qué hice mal además de desarrollar todas las cuadráticas pero eso es costumbre

Pido hoguera

[BrunoDS]

Un degenerado total jajajajajajajaja

No entiendo qué hice mal además de desarrollar todas las cuadráticas pero eso es costumbre

Pido hoguera

Para mí tiene que ver este video completo (sin adelantarlo y a velocidad normal):

https://youtu.be/NHEaYbDWyQE