OFO 2019 Problema 1

[julianferres_]

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Vamos a generalizar primero: supongamos que los dos números que piensa son $a$ y $b$, siendo $a$ el que suma al final, y $k$ el número que dice en voz alta el voluntario, queda:

$(a+b)^2+a=k$

Expandiendo,

$a^2+2ab+b^2+a=k$

Estableciendo la cuadrática en función de $a$:

$a^2+2ab+b^2+a=k$

$a^2+a \times (2b+1)+(b^2-k)=0$

$a=\frac{-(2b+1)+\sqrt{(2b+1)^2-4 \times 1 \times (b^2-k)}}{2 \times 1}$

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{(2b)^2+2 \times 2b \times 1+1^2-4b^2+4k}}{2}$

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{4b^2+4b+1-4b^2+4k}}{2}$

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{4b+4k+1}}{2}$


Ahora estableciéndola en función de $b$:

$a^2+2ab+b^2+a=k$

$b^2+b \times 2a+(a^2+a-k)+0$

$b=\frac{-(2a)+\sqrt{(2a)^2-4 \times 1 \times (a^2+a+k)}}{2 \times 1}$

$b=\frac{-2a}{2} + \frac{\sqrt{4a^2-4a^2-4a+4k}}{2}$

$b=-a + \sqrt{\frac{-4a+4k}{4}}$

$b=-a + \sqrt{-a+k}$

(en ambos casos, como el coeficiente principal y la variable independiente (primero $a$ y después $b$) son positivos, tomamos sólo la parte positiva de la raíz del discriminante)


Ahora, como queremos que $a$ y $b$ sean positivos, tenemos las siguientes dos inecuaciones:

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{4b+4k+1}}{2} \Rightarrow \frac{-2b-1+\sqrt{4b+4k+1}}{2}> 0 \Rightarrow -2b-1+\sqrt{4b+4k+1}> 0$

$b=-a + \sqrt{-a+k} \Rightarrow -a+\sqrt{-a+k}>0$

Vamos a usar la segunda de éstas:

$-a + \sqrt{-a+k}> 0$

$k-a>a^2$

$a^2+a-k<0$

Completando cuadrados:

$a^2+2 \frac{1}{2} a + \left ( \sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \right )-k<0$

$\left (a+\sqrt{\frac{1}{2}} \right )^2<k+\sqrt{\frac{1}{2}}$

$|a+\sqrt{\frac{1}{2}}|<\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}$

$-\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}<a+\sqrt{\frac{1}{2}}<\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}$

$-\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}<a<\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$



Ahora ya sí separamos los dos casos:

(a) $k=100000$

$-\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}<a<\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$


$-\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx -316,94$ y $\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx 315,52$

Entonces como $a$ es un entero positivo, $0<a<316$

Y ahora, volviendo a la expresión de $b$ en función de $a$, tenemos que

$b=-a + \sqrt{-a+100000}$

Como $b$ es entero, $-a+100000$ tiene que ser un cuadrado perfecto. Como $0<a<316$, entonces $99684<-a+100000<100000$

$\sqrt{100000}>316>\sqrt{99684}$, y el único cuadrado perfecto entre $99684$ y $100000$ es $316^2=99856$, por lo que $-a+100000$ sólo puede ser $99856$, con lo que queda que $a=144$, entonces:

$(a+b)^2=k=100000=(144+b)^2+144$

$\sqrt{100000-144}-144=b$

$b=172$, por lo que, no sólo es posible que el voluntario diga 100000, sino que, de decir éste 100000, el mago puede adivinar los dos números con seguridad, ya que $144$ y $172$ es el único par de números posible.



(b) $k=2019$

$-\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}<a<\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$

$-\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx -45,65$ y $\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx 44,23$

Entonces como $a$ es un entero positivo, $0<a<45$

Y ahora, volviendo a la expresión de $b$ en función de $a$, tenemos que

$b=-a + \sqrt{-a+2019}$

Como $b$ es entero, $-a+2019$ tiene que ser un cuadrado perfecto. Como $0<a<45$, entonces $1974<-a+2019<2019$

Pero $44<\sqrt{1974}<\sqrt{2019}<45$, entonces no hay ningún cuadrado perfecto entre $1974$ y $2019$, por lo tanto no hay ningún par de números que el voluntario puede pensar que hagan que diga en voz alta el número 2019.

Un degenerado total jajajajajajajaja

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