OFO 2019 Problema 1

Avatar de Usuario
Chino2000

OFO - Medalla de Plata FOFO 7 años - Medalla Especial FOFO 8 años - Jurado OFO - Jurado FOFO Pascua 2019 - Jurado
Mensajes: 36
Registrado: Mar 09 Dic, 2014 10:18 pm
Medallas: 6
Nivel: 1

OFO 2019 Problema 1

Mensaje sin leer por Chino2000 » Dom 20 Ene, 2019 12:12 am

En un famoso circo, el mago Beto elige al azar un voluntario del público para hacer un truco de magia. Le pide a esta persona que realice tres pasos: primero, le pide que piense dos enteros positivos y que los sume. Segundo, le pide que eleve esa suma al cuadrado. Y tercero, le pide que a ese último resultado le sume alguno de los dos enteros positivos que había pensado inicialmente. Terminado este proceso, la persona le dice al mago el resultado obtenido.

(a) Determinar si es posible que la persona diga $100000$

(b) Determinar si es posible que la persona diga $2019$

En cada caso: si es posible, encontrar los dos números que debe decir el mago para sorprender al público adivinando; y si no es posible, explicar por qué.
1  

Avatar de Usuario
Chino2000

OFO - Medalla de Plata FOFO 7 años - Medalla Especial FOFO 8 años - Jurado OFO - Jurado FOFO Pascua 2019 - Jurado
Mensajes: 36
Registrado: Mar 09 Dic, 2014 10:18 pm
Medallas: 6
Nivel: 1

Re: OFO 2019 Problema 1

Mensaje sin leer por Chino2000 » Dom 27 Ene, 2019 4:12 pm

Aquí publicaremos la solución oficial

Avatar de Usuario
enigma1234

OFO - Medalla de Oro FOFO 8 años - Medalla Especial OFO - Medalla de Plata
Mensajes: 66
Registrado: Sab 03 Jun, 2017 8:07 pm
Medallas: 3
Nivel: 2

Re: OFO 2019 Problema 1

Mensaje sin leer por enigma1234 » Lun 28 Ene, 2019 9:23 am

Spoiler: mostrar
Supongamos que un numero $M$ puede ser dicho.
Si la persona elige $x$ e $y$ y el le dice al mago el numero $M=(x+y)^2+x$.
Es claro que: $(x+y)^2<M<(x+y)^2+x+y\to (2x+2y)^2<4M<(2x+2y+1)^2$.
Entonces $[\sqrt{4M}] =2x+2y$ osea un numero par,y si tenemos un $M$ que cumple esto entonces $x+y$ esta fijo luego $x$ esta fijo por lo que $y$ es fijo.
a)$M=100000\to [\sqrt{4M}]=632$ por lo que si existen($(144+172)^2+144=100000$).
b)$M=2019\to [\sqrt{4M}]=89$ por lo que por lo anterior no es posible.

One in a millon...my lucky strike! :D

Avatar de Usuario
enigma1234

OFO - Medalla de Oro FOFO 8 años - Medalla Especial OFO - Medalla de Plata
Mensajes: 66
Registrado: Sab 03 Jun, 2017 8:07 pm
Medallas: 3
Nivel: 2

Re: OFO 2019 Problema 1

Mensaje sin leer por enigma1234 » Lun 28 Ene, 2019 9:23 am

.
One in a millon...my lucky strike! :D

Sandy

OFO - Medalla de Bronce
Mensajes: 30
Registrado: Lun 27 Nov, 2017 1:59 am
Medallas: 1
Nivel: 2

Re: OFO 2019 Problema 1

Mensaje sin leer por Sandy » Lun 28 Ene, 2019 10:59 am

Spoiler: mostrar
Vamos a generalizar primero: supongamos que los dos números que piensa son $a$ y $b$, siendo $a$ el que suma al final, y $k$ el número que dice en voz alta el voluntario, queda:

$(a+b)^2+a=k$

Expandiendo,

$a^2+2ab+b^2+a=k$

Estableciendo la cuadrática en función de $a$:

$a^2+2ab+b^2+a=k$

$a^2+a \times (2b+1)+(b^2-k)=0$

$a=\frac{-(2b+1)+\sqrt{(2b+1)^2-4 \times 1 \times (b^2-k)}}{2 \times 1}$

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{(2b)^2+2 \times 2b \times 1+1^2-4b^2+4k}}{2}$

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{4b^2+4b+1-4b^2+4k}}{2}$

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{4b+4k+1}}{2}$


Ahora estableciéndola en función de $b$:

$a^2+2ab+b^2+a=k$

$b^2+b \times 2a+(a^2+a-k)+0$

$b=\frac{-(2a)+\sqrt{(2a)^2-4 \times 1 \times (a^2+a+k)}}{2 \times 1}$

$b=\frac{-2a}{2} + \frac{\sqrt{4a^2-4a^2-4a+4k}}{2}$

$b=-a + \sqrt{\frac{-4a+4k}{4}}$

$b=-a + \sqrt{-a+k}$

(en ambos casos, como el coeficiente principal y la variable independiente (primero $a$ y después $b$) son positivos, tomamos sólo la parte positiva de la raíz del discriminante)


Ahora, como queremos que $a$ y $b$ sean positivos, tenemos las siguientes dos inecuaciones:

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{4b+4k+1}}{2} \Rightarrow \frac{-2b-1+\sqrt{4b+4k+1}}{2}> 0 \Rightarrow -2b-1+\sqrt{4b+4k+1}> 0$

$b=-a + \sqrt{-a+k} \Rightarrow -a+\sqrt{-a+k}>0$

Vamos a usar la segunda de éstas:

$-a + \sqrt{-a+k}> 0$

$k-a>a^2$

$a^2+a-k<0$

Completando cuadrados:

$a^2+2 \frac{1}{2} a + \left ( \sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \right )-k<0$

$\left (a+\sqrt{\frac{1}{2}} \right )^2<k+\sqrt{\frac{1}{2}}$

$|a+\sqrt{\frac{1}{2}}|<\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}$

$-\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}<a+\sqrt{\frac{1}{2}}<\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}$

$-\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}<a<\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$



Ahora ya sí separamos los dos casos:

(a) $k=100000$

$-\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}<a<\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$


$-\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx -316,94$ y $\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx 315,52$

Entonces como $a$ es un entero positivo, $0<a<316$

Y ahora, volviendo a la expresión de $b$ en función de $a$, tenemos que

$b=-a + \sqrt{-a+100000}$

Como $b$ es entero, $-a+100000$ tiene que ser un cuadrado perfecto. Como $0<a<316$, entonces $99684<-a+100000<100000$

$\sqrt{100000}>316>\sqrt{99684}$, y el único cuadrado perfecto entre $99684$ y $100000$ es $316^2=99856$, por lo que $-a+100000$ sólo puede ser $99856$, con lo que queda que $a=144$, entonces:

$(a+b)^2=k=100000=(144+b)^2+144$

$\sqrt{100000-144}-144=b$

$b=172$, por lo que, no sólo es posible que el voluntario diga 100000, sino que, de decir éste 100000, el mago puede adivinar los dos números con seguridad, ya que $144$ y $172$ es el único par de números posible.



(b) $k=2019$

$-\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}<a<\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$

$-\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx -45,65$ y $\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx 44,23$

Entonces como $a$ es un entero positivo, $0<a<45$

Y ahora, volviendo a la expresión de $b$ en función de $a$, tenemos que

$b=-a + \sqrt{-a+2019}$

Como $b$ es entero, $-a+2019$ tiene que ser un cuadrado perfecto. Como $0<a<45$, entonces $1974<-a+2019<2019$

Pero $44<\sqrt{1974}<\sqrt{2019}<45$, entonces no hay ningún cuadrado perfecto entre $1974$ y $2019$, por lo tanto no hay ningún par de números que el voluntario puede pensar que hagan que diga en voz alta el número 2019.
1  

Avatar de Usuario
nico ferres

OFO - Medalla de Plata
Mensajes: 8
Registrado: Mié 23 Abr, 2014 11:24 am
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Entre Rosario y Capital

Re: OFO 2019 Problema 1

Mensaje sin leer por nico ferres » Lun 28 Ene, 2019 1:12 pm

Spoiler: mostrar
Para comenzar, notemos que si los numeros pensados son $a$ y $b$ entonces los resultados obtenidos son de la forma $(a+b)^2+a$ o $(a+b)^2+b$. Sin perdida de generalidad, suponemos que los mismos son del primer tipo, debido a q ue por simetria podríamos obtener el segundo tipo.

Sea $k = a+b$ y $r = a$, claramente $k>r$.

Veamos que si quiero resultado $x$, existe un solo $k$ que cumple las condiciones ( y es $k = \left \lfloor \sqrt{x} \right \rfloor $ ).

Para esto supongamos que existe un $k' < k $ que cumple que $x = k'^2 + r' $ con $r'<k'$ , pero entonces, $k^2-k'^2 \leq k^2 - (k-1)^2 = 2k-1$

Luego $r' = x - k'^2 = k^2+r-k'^2 > 2k-1 +r > k > k'$ lo cual es un absurdo, luego dicho $k$ es único.

Pero entonces solo basta ver que para los casos a) y b) se cumpla que $k>r$.

a) $x = 10 ^5 $

Luego $k = \left \lfloor \sqrt{10^5} \right \rfloor = 316$ y entonces $r = 10^5- 316^2 = 144$

Por lo tanto quedan univocamente definidos $a$ y $b$ , ya que $a = 144$ y $a+b = 316$, luego $b = 172$

b) $ x =2019$

Luego $k = \left \lfloor \sqrt{2019} \right \rfloor = 44$ y entonces $r = 2019 - 44^2 = 83$

Pero en este caso no se cumple que $k> r$, por lo tanto no existen enteros positivos $a$ y $b$ que cumplan lo pedido.
Legalmente puedo manejar una cosechadora

Avatar de Usuario
Turko Arias

Colaborador OFO - Medalla de Plata OFO - Medalla de Oro FOFO Pascua 2019 - Medalla
Mensajes: 284
Registrado: Lun 28 Nov, 2011 11:39 am
Medallas: 4
Nivel: Ñandú
Ubicación: La Plata, Provincia de Buenos Aires

Re: OFO 2019 Problema 1

Mensaje sin leer por Turko Arias » Mar 29 Ene, 2019 3:53 pm

Sandy escribió:
Lun 28 Ene, 2019 10:59 am
Spoiler: mostrar
Vamos a generalizar primero: supongamos que los dos números que piensa son $a$ y $b$, siendo $a$ el que suma al final, y $k$ el número que dice en voz alta el voluntario, queda:

$(a+b)^2+a=k$

Expandiendo,

$a^2+2ab+b^2+a=k$

Estableciendo la cuadrática en función de $a$:

$a^2+2ab+b^2+a=k$

$a^2+a \times (2b+1)+(b^2-k)=0$

$a=\frac{-(2b+1)+\sqrt{(2b+1)^2-4 \times 1 \times (b^2-k)}}{2 \times 1}$

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{(2b)^2+2 \times 2b \times 1+1^2-4b^2+4k}}{2}$

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{4b^2+4b+1-4b^2+4k}}{2}$

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{4b+4k+1}}{2}$


Ahora estableciéndola en función de $b$:

$a^2+2ab+b^2+a=k$

$b^2+b \times 2a+(a^2+a-k)+0$

$b=\frac{-(2a)+\sqrt{(2a)^2-4 \times 1 \times (a^2+a+k)}}{2 \times 1}$

$b=\frac{-2a}{2} + \frac{\sqrt{4a^2-4a^2-4a+4k}}{2}$

$b=-a + \sqrt{\frac{-4a+4k}{4}}$

$b=-a + \sqrt{-a+k}$

(en ambos casos, como el coeficiente principal y la variable independiente (primero $a$ y después $b$) son positivos, tomamos sólo la parte positiva de la raíz del discriminante)


Ahora, como queremos que $a$ y $b$ sean positivos, tenemos las siguientes dos inecuaciones:

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{4b+4k+1}}{2} \Rightarrow \frac{-2b-1+\sqrt{4b+4k+1}}{2}> 0 \Rightarrow -2b-1+\sqrt{4b+4k+1}> 0$

$b=-a + \sqrt{-a+k} \Rightarrow -a+\sqrt{-a+k}>0$

Vamos a usar la segunda de éstas:

$-a + \sqrt{-a+k}> 0$

$k-a>a^2$

$a^2+a-k<0$

Completando cuadrados:

$a^2+2 \frac{1}{2} a + \left ( \sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \right )-k<0$

$\left (a+\sqrt{\frac{1}{2}} \right )^2<k+\sqrt{\frac{1}{2}}$

$|a+\sqrt{\frac{1}{2}}|<\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}$

$-\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}<a+\sqrt{\frac{1}{2}}<\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}$

$-\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}<a<\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$



Ahora ya sí separamos los dos casos:

(a) $k=100000$

$-\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}<a<\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$


$-\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx -316,94$ y $\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx 315,52$

Entonces como $a$ es un entero positivo, $0<a<316$

Y ahora, volviendo a la expresión de $b$ en función de $a$, tenemos que

$b=-a + \sqrt{-a+100000}$

Como $b$ es entero, $-a+100000$ tiene que ser un cuadrado perfecto. Como $0<a<316$, entonces $99684<-a+100000<100000$

$\sqrt{100000}>316>\sqrt{99684}$, y el único cuadrado perfecto entre $99684$ y $100000$ es $316^2=99856$, por lo que $-a+100000$ sólo puede ser $99856$, con lo que queda que $a=144$, entonces:

$(a+b)^2=k=100000=(144+b)^2+144$

$\sqrt{100000-144}-144=b$

$b=172$, por lo que, no sólo es posible que el voluntario diga 100000, sino que, de decir éste 100000, el mago puede adivinar los dos números con seguridad, ya que $144$ y $172$ es el único par de números posible.



(b) $k=2019$

$-\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}<a<\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$

$-\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx -45,65$ y $\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx 44,23$

Entonces como $a$ es un entero positivo, $0<a<45$

Y ahora, volviendo a la expresión de $b$ en función de $a$, tenemos que

$b=-a + \sqrt{-a+2019}$

Como $b$ es entero, $-a+2019$ tiene que ser un cuadrado perfecto. Como $0<a<45$, entonces $1974<-a+2019<2019$

Pero $44<\sqrt{1974}<\sqrt{2019}<45$, entonces no hay ningún cuadrado perfecto entre $1974$ y $2019$, por lo tanto no hay ningún par de números que el voluntario puede pensar que hagan que diga en voz alta el número 2019.
Un degenerado total jajajajajajajaja :mrgreen:
3  

Sandy

OFO - Medalla de Bronce
Mensajes: 30
Registrado: Lun 27 Nov, 2017 1:59 am
Medallas: 1
Nivel: 2

Re: OFO 2019 Problema 1

Mensaje sin leer por Sandy » Mar 29 Ene, 2019 4:24 pm

Turko Arias escribió:
Mar 29 Ene, 2019 3:53 pm
Sandy escribió:
Lun 28 Ene, 2019 10:59 am
Spoiler: mostrar
Vamos a generalizar primero: supongamos que los dos números que piensa son $a$ y $b$, siendo $a$ el que suma al final, y $k$ el número que dice en voz alta el voluntario, queda:

$(a+b)^2+a=k$

Expandiendo,

$a^2+2ab+b^2+a=k$

Estableciendo la cuadrática en función de $a$:

$a^2+2ab+b^2+a=k$

$a^2+a \times (2b+1)+(b^2-k)=0$

$a=\frac{-(2b+1)+\sqrt{(2b+1)^2-4 \times 1 \times (b^2-k)}}{2 \times 1}$

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{(2b)^2+2 \times 2b \times 1+1^2-4b^2+4k}}{2}$

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{4b^2+4b+1-4b^2+4k}}{2}$

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{4b+4k+1}}{2}$


Ahora estableciéndola en función de $b$:

$a^2+2ab+b^2+a=k$

$b^2+b \times 2a+(a^2+a-k)+0$

$b=\frac{-(2a)+\sqrt{(2a)^2-4 \times 1 \times (a^2+a+k)}}{2 \times 1}$

$b=\frac{-2a}{2} + \frac{\sqrt{4a^2-4a^2-4a+4k}}{2}$

$b=-a + \sqrt{\frac{-4a+4k}{4}}$

$b=-a + \sqrt{-a+k}$

(en ambos casos, como el coeficiente principal y la variable independiente (primero $a$ y después $b$) son positivos, tomamos sólo la parte positiva de la raíz del discriminante)


Ahora, como queremos que $a$ y $b$ sean positivos, tenemos las siguientes dos inecuaciones:

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{4b+4k+1}}{2} \Rightarrow \frac{-2b-1+\sqrt{4b+4k+1}}{2}> 0 \Rightarrow -2b-1+\sqrt{4b+4k+1}> 0$

$b=-a + \sqrt{-a+k} \Rightarrow -a+\sqrt{-a+k}>0$

Vamos a usar la segunda de éstas:

$-a + \sqrt{-a+k}> 0$

$k-a>a^2$

$a^2+a-k<0$

Completando cuadrados:

$a^2+2 \frac{1}{2} a + \left ( \sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \right )-k<0$

$\left (a+\sqrt{\frac{1}{2}} \right )^2<k+\sqrt{\frac{1}{2}}$

$|a+\sqrt{\frac{1}{2}}|<\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}$

$-\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}<a+\sqrt{\frac{1}{2}}<\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}$

$-\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}<a<\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$



Ahora ya sí separamos los dos casos:

(a) $k=100000$

$-\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}<a<\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$


$-\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx -316,94$ y $\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx 315,52$

Entonces como $a$ es un entero positivo, $0<a<316$

Y ahora, volviendo a la expresión de $b$ en función de $a$, tenemos que

$b=-a + \sqrt{-a+100000}$

Como $b$ es entero, $-a+100000$ tiene que ser un cuadrado perfecto. Como $0<a<316$, entonces $99684<-a+100000<100000$

$\sqrt{100000}>316>\sqrt{99684}$, y el único cuadrado perfecto entre $99684$ y $100000$ es $316^2=99856$, por lo que $-a+100000$ sólo puede ser $99856$, con lo que queda que $a=144$, entonces:

$(a+b)^2=k=100000=(144+b)^2+144$

$\sqrt{100000-144}-144=b$

$b=172$, por lo que, no sólo es posible que el voluntario diga 100000, sino que, de decir éste 100000, el mago puede adivinar los dos números con seguridad, ya que $144$ y $172$ es el único par de números posible.



(b) $k=2019$

$-\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}<a<\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$

$-\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx -45,65$ y $\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx 44,23$

Entonces como $a$ es un entero positivo, $0<a<45$

Y ahora, volviendo a la expresión de $b$ en función de $a$, tenemos que

$b=-a + \sqrt{-a+2019}$

Como $b$ es entero, $-a+2019$ tiene que ser un cuadrado perfecto. Como $0<a<45$, entonces $1974<-a+2019<2019$

Pero $44<\sqrt{1974}<\sqrt{2019}<45$, entonces no hay ningún cuadrado perfecto entre $1974$ y $2019$, por lo tanto no hay ningún par de números que el voluntario puede pensar que hagan que diga en voz alta el número 2019.
Un degenerado total jajajajajajajaja :mrgreen:
No entiendo qué hice mal además de desarrollar todas las cuadráticas pero eso es costumbre
1  

jujumas

OFO - Mención OFO - Medalla de Plata FOFO 7 años - Medalla Especial OFO - Oro perfecto FOFO Pascua 2017 - Medalla
OFO - Medalla de Oro FOFO 8 años - Jurado OFO - Jurado FOFO Pascua 2019 - Jurado
Mensajes: 376
Registrado: Dom 26 Oct, 2014 8:30 pm
Medallas: 10
Nivel: 2

Re: OFO 2019 Problema 1

Mensaje sin leer por jujumas » Mié 30 Ene, 2019 12:44 am

Sandy escribió:
Mar 29 Ene, 2019 4:24 pm
Turko Arias escribió:
Mar 29 Ene, 2019 3:53 pm
Sandy escribió:
Lun 28 Ene, 2019 10:59 am
Spoiler: mostrar
Vamos a generalizar primero: supongamos que los dos números que piensa son $a$ y $b$, siendo $a$ el que suma al final, y $k$ el número que dice en voz alta el voluntario, queda:

$(a+b)^2+a=k$

Expandiendo,

$a^2+2ab+b^2+a=k$

Estableciendo la cuadrática en función de $a$:

$a^2+2ab+b^2+a=k$

$a^2+a \times (2b+1)+(b^2-k)=0$

$a=\frac{-(2b+1)+\sqrt{(2b+1)^2-4 \times 1 \times (b^2-k)}}{2 \times 1}$

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{(2b)^2+2 \times 2b \times 1+1^2-4b^2+4k}}{2}$

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{4b^2+4b+1-4b^2+4k}}{2}$

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{4b+4k+1}}{2}$


Ahora estableciéndola en función de $b$:

$a^2+2ab+b^2+a=k$

$b^2+b \times 2a+(a^2+a-k)+0$

$b=\frac{-(2a)+\sqrt{(2a)^2-4 \times 1 \times (a^2+a+k)}}{2 \times 1}$

$b=\frac{-2a}{2} + \frac{\sqrt{4a^2-4a^2-4a+4k}}{2}$

$b=-a + \sqrt{\frac{-4a+4k}{4}}$

$b=-a + \sqrt{-a+k}$

(en ambos casos, como el coeficiente principal y la variable independiente (primero $a$ y después $b$) son positivos, tomamos sólo la parte positiva de la raíz del discriminante)


Ahora, como queremos que $a$ y $b$ sean positivos, tenemos las siguientes dos inecuaciones:

$a=\frac{-2b-1+\sqrt{4b+4k+1}}{2} \Rightarrow \frac{-2b-1+\sqrt{4b+4k+1}}{2}> 0 \Rightarrow -2b-1+\sqrt{4b+4k+1}> 0$

$b=-a + \sqrt{-a+k} \Rightarrow -a+\sqrt{-a+k}>0$

Vamos a usar la segunda de éstas:

$-a + \sqrt{-a+k}> 0$

$k-a>a^2$

$a^2+a-k<0$

Completando cuadrados:

$a^2+2 \frac{1}{2} a + \left ( \sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \right )-k<0$

$\left (a+\sqrt{\frac{1}{2}} \right )^2<k+\sqrt{\frac{1}{2}}$

$|a+\sqrt{\frac{1}{2}}|<\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}$

$-\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}<a+\sqrt{\frac{1}{2}}<\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}$

$-\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}<a<\sqrt{k+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$



Ahora ya sí separamos los dos casos:

(a) $k=100000$

$-\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}<a<\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$


$-\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx -316,94$ y $\sqrt{100000+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx 315,52$

Entonces como $a$ es un entero positivo, $0<a<316$

Y ahora, volviendo a la expresión de $b$ en función de $a$, tenemos que

$b=-a + \sqrt{-a+100000}$

Como $b$ es entero, $-a+100000$ tiene que ser un cuadrado perfecto. Como $0<a<316$, entonces $99684<-a+100000<100000$

$\sqrt{100000}>316>\sqrt{99684}$, y el único cuadrado perfecto entre $99684$ y $100000$ es $316^2=99856$, por lo que $-a+100000$ sólo puede ser $99856$, con lo que queda que $a=144$, entonces:

$(a+b)^2=k=100000=(144+b)^2+144$

$\sqrt{100000-144}-144=b$

$b=172$, por lo que, no sólo es posible que el voluntario diga 100000, sino que, de decir éste 100000, el mago puede adivinar los dos números con seguridad, ya que $144$ y $172$ es el único par de números posible.



(b) $k=2019$

$-\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}<a<\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$

$-\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx -45,65$ y $\sqrt{2019+\sqrt{\frac{1}{2}}}-\sqrt{\frac{1}{2}} \approx 44,23$

Entonces como $a$ es un entero positivo, $0<a<45$

Y ahora, volviendo a la expresión de $b$ en función de $a$, tenemos que

$b=-a + \sqrt{-a+2019}$

Como $b$ es entero, $-a+2019$ tiene que ser un cuadrado perfecto. Como $0<a<45$, entonces $1974<-a+2019<2019$

Pero $44<\sqrt{1974}<\sqrt{2019}<45$, entonces no hay ningún cuadrado perfecto entre $1974$ y $2019$, por lo tanto no hay ningún par de números que el voluntario puede pensar que hagan que diga en voz alta el número 2019.
Un degenerado total jajajajajajajaja :mrgreen:
No entiendo qué hice mal además de desarrollar todas las cuadráticas pero eso es costumbre
Pido hoguera
3  

Avatar de Usuario
BrunoDS

OFO - Medalla de Plata OFO - Medalla de Oro
Mensajes: 92
Registrado: Dom 16 Nov, 2014 7:09 pm
Medallas: 2
Nivel: 3
Ubicación: Martínez

Re: OFO 2019 Problema 1

Mensaje sin leer por BrunoDS » Mié 30 Ene, 2019 8:22 pm

jujumas escribió:
Mié 30 Ene, 2019 12:44 am
Sandy escribió:
Mar 29 Ene, 2019 4:24 pm
Turko Arias escribió:
Mar 29 Ene, 2019 3:53 pm


Un degenerado total jajajajajajajaja :mrgreen:
No entiendo qué hice mal además de desarrollar todas las cuadráticas pero eso es costumbre
Pido hoguera
Para mí tiene que ver este video completo (sin adelantarlo y a velocidad normal):

https://youtu.be/NHEaYbDWyQE
3  
"No se olviden de entregar la prueba antes de irse..."

Responder