OMEO 2019 N2 P1

[MateoCV]

Sobre la mesa hay $20$ tarjetas que tienen escritos los números enteros del $1$ al $20$ (Uno en cada una y sin repetir). Una operación consiste en seleccionar dos tarjetas, sacarlas de la mesa y agregar a la mesa una nueva tarjeta que contenga el número que se obtiene al sumar, restar, multiplicar o dividir las tarjetas seleccionadas (solo uno de estos números, a elección). Por ejemplo, una operación podría ser seleccionar una tarjeta que contenga un $5$ y otra que contenga un $2$, sacar ambas y cambiarlas por una tarjeta que contenga un $3$ (ya que $5-2=3$).
Cada operación se realiza con las tarjetas que quedaron en la mesa luego de realizar la operación anterior
Decidir si es posible que luego de $19$ operaciones la única tarjeta que quede en la mesa contenga:
a) $2^{44}$
b) $20!+19!+18!$

Nota: Llamamos $n!$ al producto de los primeros $n$ enteros positivos.
Por ejemplo, $4! = 4\times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Propuesto por: Mateo Carranza

[Turko Arias]

Parte a)

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No se puede... Aplicando el Teorema de Fermat Euler.... Weee te la creíste.
$2^{44}=(15+17).(14+18).(13+19).(12+20).(5+11).(6+10).(7+9).(1+3).2.4.8.16$

Parte b)

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$20!+19!+18!=20.19.18!+19.18!+18!=18!(20.19+19+1)=18!(20.(19+1))$.
Luego en el primer paso sumamos $19$ y $1$, en el segundo multiplicamos eso por $20$ y en los pasos restantes multiplicamos por cada uno de los números que quedan.