OMEO 2019 N2 P2

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MateoCV

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OMEO 2019 N2 P2

Mensaje sin leer por MateoCV » Vie 08 Feb, 2019 8:30 pm

Para cada número entero positivo $n$ llamamos $S(n)$ a la suma de sus dígitos y $P(n)$ al producto de sus dígitos. Por ejemplo: $S(12345)=1+2+3+4+5=15$ y $P(12345)=1\times 2\times 3\times 4\times 5=120$. Decimos que un número entero positivo $n$ es obediente si $S(n)=P(n)$ (es decir, la suma de sus dígitos es igual al producto de sus dígitos).
Hallar la cantidad de números obedientes menores a $2019$.

Propuesto por: Mateo Carranza
$2^{82589933}-1$ es primo

BrunZo

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Re: OMEO 2019 N2 P2

Mensaje sin leer por BrunZo » Sab 09 Feb, 2019 12:51 pm

Solución:
Spoiler: mostrar
Notemos que un dígito no puede ser $0$, ya que $P(n)=0\neq S(n)$.


Para números de un dígito, es obvio que todo $1\leq n\leq 9$ es obediente.


Si un número de dos dígitos, digamos $a$ y $b$, usamos que $a+b=a\cdot b$ si y sólo si $a=b=2$.
Spoiler: mostrar
$$a+b=a\cdot b$$
implica
$$a=(a-1)b$$
que a su vez implica que
$$1=(a-1)(b-1)$$
Lo cual, usando que $a$, $b$ son enteros, implica que $a=b=2$.
Por lo que, tenemos $n=22$ es obediente.


Para números de $3$ dígitos obedientes, $a$, $b$ y $c$, usamos que uno de ellos debe ser $1$.
Spoiler: mostrar
Si todos fuesen $2$ o más, como
$$1\leq (a-1)(b-1)$$
entonces
$$a+b\leq a\cdot b$$
Por lo que, como $c\geq 2$, tenemos
$$2\leq 3c-4$$
o sea,
$$c+2\leq 4(c-1)\leq (a\cdot b)(c-1)$$
Sumando estos dos resultados tenemos
$$a+b+c+2\leq a\cdot b\cdot c$$
lo cual implica que $S(n)<P(n)$.
Entonces, digamos que $c=1$, de esto se sigue que $a=1$, $b=2$ o viceversa.
Spoiler: mostrar
$$a+b+1=a\cdot b$$
implica
$$2=(a-1)(b-1)$$
De lo que se sigue.
Por lo que, $n=112$, $n=121$ $n=211$ son obedientes.


Para números de $4$ dígitos, usamos que dos de ellos es $1$.
Spoiler: mostrar
Ya sabemos que uno de ellos es uno, digamos $d=1$, entonces
$$a+b+c+1=a\cdot b\cdot c$$
Lo cual, siendo $a,b,c\geq 2$, obtenemos
$$a+b+c+2\leq a\cdot b\cdot c$$
que es absurdo.
Entonces, digamos $c=1$. De esto se sigue que $a$, $b$ son $1$, $3$
Spoiler: mostrar
Haciendo como antes, obtenemos
$$3=(a-1)(b-1)$$
de lo que se sigue.
Con lo que $n=1113$, $n=1131$, $n=1311$ son obedientes.


Sumando todo obtenemos que hay $9+1+3+3=16$ números obedientes.

Sandy

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Re: OMEO 2019 N2 P2

Mensaje sin leer por Sandy » Sab 09 Feb, 2019 1:51 pm

BrunZo escribió:
Sab 09 Feb, 2019 12:51 pm
Solución:
Spoiler: mostrar
Notemos que un dígito no puede ser $0$, ya que $P(n)=0\neq S(n)$.


Para números de un dígito, es obvio que todo $1\leq n\leq 9$ es obediente.


Si un número de dos dígitos, digamos $a$ y $b$, usamos que $a+b=a\cdot b$ si y sólo si $a=b=2$.
Spoiler: mostrar
$$a+b=a\cdot b$$
implica
$$a=(a-1)b$$
que a su vez implica que
$$1=(a-1)(b-1)$$
Lo cual, usando que $a$, $b$ son enteros, implica que $a=b=2$.
Por lo que, tenemos $n=22$ es obediente.


Para números de $3$ dígitos obedientes, $a$, $b$ y $c$, usamos que uno de ellos debe ser $1$.
Spoiler: mostrar
Si todos fuesen $2$ o más, como
$$1\leq (a-1)(b-1)$$
entonces
$$a+b\leq a\cdot b$$
Por lo que, como $c\geq 2$, tenemos
$$2\leq 3c-4$$
o sea,
$$c+2\leq 4(c-1)\leq (a\cdot b)(c-1)$$
Sumando estos dos resultados tenemos
$$a+b+c+2\leq a\cdot b\cdot c$$
lo cual implica que $S(n)<P(n)$.
Entonces, digamos que $c=1$, de esto se sigue que $a=1$, $b=2$ o viceversa.
Spoiler: mostrar
$$a+b+1=a\cdot b$$
implica
$$2=(a-1)(b-1)$$
De lo que se sigue.
Por lo que, $n=112$, $n=121$ $n=211$ son obedientes.


Para números de $4$ dígitos, usamos que dos de ellos es $1$.
Spoiler: mostrar
Ya sabemos que uno de ellos es uno, digamos $d=1$, entonces
$$a+b+c+1=a\cdot b\cdot c$$
Lo cual, siendo $a,b,c\geq 2$, obtenemos
$$a+b+c+2\leq a\cdot b\cdot c$$
que es absurdo.
Entonces, digamos $c=1$. De esto se sigue que $a$, $b$ son $1$, $3$
Spoiler: mostrar
Haciendo como antes, obtenemos
$$3=(a-1)(b-1)$$
de lo que se sigue.
Con lo que $n=1113$, $n=1131$, $n=1311$ son obedientes.


Sumando todo obtenemos que hay $9+1+3+3=16$ números obedientes.
Pero no entiendo, 1+1+1+3=6 y 1×1×1×3=3, y lo mismo con los de 3 cifras
Última edición por Sandy el Sab 09 Feb, 2019 2:43 pm, editado 2 veces en total.

Sandy

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Re: OMEO 2019 N2 P2

Mensaje sin leer por Sandy » Sab 09 Feb, 2019 2:41 pm

MateoCV escribió:
Vie 08 Feb, 2019 8:30 pm
Para cada número entero positivo $n$ llamamos $S(n)$ a la suma de sus dígitos y $P(n)$ al producto de sus dígitos. Por ejemplo: $S(12345)=1+2+3+4+5=15$ y $P(12345)=1\times 2\times 3\times 4\times 5=120$. Decimos que un número entero positivo $n$ es obediente si $S(n)=P(n)$ (es decir, la suma de sus dígitos es igual al producto de sus dígitos).
Hallar la cantidad de números obedientes menores a $2019$.

Propuesto por: Mateo Carranza
Spoiler: mostrar
Sabemos que los 9 números de una cifra son obedientes.

Luego, de dos cifras,
$ab=a+b$
$b=1+\frac{b}{a}$
$a=1+\frac{a}{b}$

Como $a$ y $b$ son enteros, deben ser divisibles entre sí, es decir que $a$ divide a $b$ y $b$ divide a $a$, por lo que queda que $a=b$, y queda:
$a^2=2a$
$a=2$
Entonces el único número obediente de dos cifras es el $22$.

Para tres cifras, tomemos WLOG $a≥b≥c$
$abc=a+b+c$
$a(bc-1)=b+c$
Pero como $a≥b≥c$, entonces $b+c≤2a$, entonces tenemos que:
$a(bc-1)≤2a \Rightarrow bc-1≤2 \Rightarrow bc≤3$
Entonces hay 3 opciones:

a) $bc=1 \Rightarrow b=c=1$

$a=2+a$←Absurdo

b) $bc$=2 \Rightarrow c=1, b=2$

$2a=3+a$
$a=3$
$n$ puede ser entonces las combinaciones entre $1$, $2$ y $3$, o sea 6 posibilidades.

c) $bc$=3 \Rightarrow c=1, b=3$

$3a=4+a$
$a=2$
Pero no se cumple $a≥b$ entonces no las contamos (porque estaría repitiendo las del caso anterior).

Entonces con tres cifras hay $6$ posibilidades.

Ahora, con 4 cifras tomemos WLOG $a≥b≥c≥d$:

$abcd=a+b+c+d$
$a(bcd-1)=b+c+d≤3a$
$bcd-1≤3$
$bcd≤4$
Entonces las posibilidades para {b,c,d} son:
•${1,1,1}$
$a=a+3$→Absurdo

•${1,1,2}$
$2a=4+a$
$a=4 \Rightarrow {a,b,c,d}={1,1,2,4}$

•${1,1,3}$
$3a=5+a$
$2a=5$→Absurdo

•${1,1,4}$
$4a=a+6$
$a=2$→$a<b$ entonces Absurdo

•${1,2,2}$
$4a=a+5$
$3a=5$→Absurdo


${a,b,c,d}={1,1,2,4}$
Como $n<2019$, la primera cifra es $1$
Para las otras tres cifras, las posibilidades son las permutaciones de ${1,2,4}$, que son $6$.

Entonces los $n$ obedientes son $9+1+6+6=22$
Última edición por Sandy el Mar 19 Feb, 2019 5:07 am, editado 1 vez en total.

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Gianni De Rico

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Re: OMEO 2019 N2 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 09 Feb, 2019 2:41 pm

BrunZo escribió:
Sab 09 Feb, 2019 12:51 pm
Spoiler: mostrar
Entonces, digamos que $c=1$, de esto se sigue que $a=1$, $b=2$ o viceversa.
Spoiler: mostrar
$$a+b+1=a\cdot b$$
implica
$$2=(a-1)(b-1)$$
De lo que se sigue.
Spoiler: mostrar
Fijate que $2=(a-1)(b-1)$ implica $a=3$ y $b=2$ sin pérdida de generalidad por simetría y usando que $(a-1)$ y $(b-1)$ son enteros no negativos (porque $a$ y $b$ son dígitos no nulos) y divisores de $2$.
Entonces tus números serían todos los que se forman permutando los dígitos de $123$.

Con los de $4$ cifras te pasa algo parecido, la ecuación $3=(a-1)(b-1)$ te devuelve $a=4$ y $b=2$.
[math]

BrunZo

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Re: OMEO 2019 N2 P2

Mensaje sin leer por BrunZo » Sab 09 Feb, 2019 3:07 pm

Sandy escribió:
Sab 09 Feb, 2019 1:51 pm
BrunZo escribió:
Sab 09 Feb, 2019 12:51 pm
Solución:
Spoiler: mostrar
Notemos que un dígito no puede ser $0$, ya que $P(n)=0\neq S(n)$.


Para números de un dígito, es obvio que todo $1\leq n\leq 9$ es obediente.


Si un número de dos dígitos, digamos $a$ y $b$, usamos que $a+b=a\cdot b$ si y sólo si $a=b=2$.
Spoiler: mostrar
$$a+b=a\cdot b$$
implica
$$a=(a-1)b$$
que a su vez implica que
$$1=(a-1)(b-1)$$
Lo cual, usando que $a$, $b$ son enteros, implica que $a=b=2$.
Por lo que, tenemos $n=22$ es obediente.


Para números de $3$ dígitos obedientes, $a$, $b$ y $c$, usamos que uno de ellos debe ser $1$.
Spoiler: mostrar
Si todos fuesen $2$ o más, como
$$1\leq (a-1)(b-1)$$
entonces
$$a+b\leq a\cdot b$$
Por lo que, como $c\geq 2$, tenemos
$$2\leq 3c-4$$
o sea,
$$c+2\leq 4(c-1)\leq (a\cdot b)(c-1)$$
Sumando estos dos resultados tenemos
$$a+b+c+2\leq a\cdot b\cdot c$$
lo cual implica que $S(n)<P(n)$.
Entonces, digamos que $c=1$, de esto se sigue que $a=1$, $b=2$ o viceversa.
Spoiler: mostrar
$$a+b+1=a\cdot b$$
implica
$$2=(a-1)(b-1)$$
De lo que se sigue.
Por lo que, $n=112$, $n=121$ $n=211$ son obedientes.


Para números de $4$ dígitos, usamos que dos de ellos es $1$.
Spoiler: mostrar
Ya sabemos que uno de ellos es uno, digamos $d=1$, entonces
$$a+b+c+1=a\cdot b\cdot c$$
Lo cual, siendo $a,b,c\geq 2$, obtenemos
$$a+b+c+2\leq a\cdot b\cdot c$$
que es absurdo.
Entonces, digamos $c=1$. De esto se sigue que $a$, $b$ son $1$, $3$
Spoiler: mostrar
Haciendo como antes, obtenemos
$$3=(a-1)(b-1)$$
de lo que se sigue.
Con lo que $n=1113$, $n=1131$, $n=1311$ son obedientes.


Sumando todo obtenemos que hay $9+1+3+3=16$ números obedientes.
Pero no entiendo, 1+1+1+3=6 y 1×1×1×3=3, y lo mismo con los de 3 cifras
Gianni De Rico escribió:
Sab 09 Feb, 2019 2:41 pm
BrunZo escribió:
Sab 09 Feb, 2019 12:51 pm
Spoiler: mostrar
Entonces, digamos que $c=1$, de esto se sigue que $a=1$, $b=2$ o viceversa.
Spoiler: mostrar
$$a+b+1=a\cdot b$$
implica
$$2=(a-1)(b-1)$$
De lo que se sigue.
Spoiler: mostrar
Fijate que $2=(a-1)(b-1)$ implica $a=3$ y $b=2$ sin pérdida de generalidad por simetría y usando que $(a-1)$ y $(b-1)$ son enteros no negativos (porque $a$ y $b$ son dígitos no nulos) y divisores de $2$.
Entonces tus números serían todos los que se forman permutando los dígitos de $123$.
Con los de $4$ cifras te pasa algo parecido, la ecuación $3=(a-1)(b-1)$ te devuelve $a=4$ y $b=2$.
Sí, sí, tienen razón. Eso pasa por escribir los posts a la apurada y no checkear...

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