OMEO 2019 N3 P3

[MateoCV]

Sean $a,p \in \mathbb{N}$ tales que $p$ es primo. Se sabe que el resto de dividir $a$ por $4$ es igual a $3$ y que el resto de dividir $p$ por $4$ es igual a $1$. Se sabe además que todos los divisores primos de $a$ son también divisores de $p+1$. Si existen tres enteros positivos $x,y,z$ tales que $a^x-p^y=z^2$, probar que $p=2z+1$

Propuesto por: Juan Pablo De Rasis

[JPablo]

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Como $z^2$ es la suma de dos impares, $z$ es par. Por lo tanto, mirando la expresión del enunciado módulo $4$, $\left (-1\right )^x\equiv 1\pmod 4$, de donde $x$ es par y $\left (a^{\frac{x}{2}}-z\right )\left (a^{\frac{x}{2}}+z\right )=p^y$. Observemos que $p$ no puede simultáneamente dividir a $a^{\frac{x}{2}}-z$ y $a^{\frac{x}{2}}+z$, pues de lo contrario $p$ dividiría a la suma de ambos, que es $2a^{\frac{x}{2}}$, y como $p$ es impar, se tendría $p\mid a$, de donde por hipótesis $p\mid p+1$, claramente imposible. Se sigue que, como $a^{\frac{x}{2}}-z<a^{\frac{x}{2}}+z$, entonces $a^{\frac{x}{2}}-z=1$ y $a^{\frac{x}{2}}+z=p^y$. Sumando ambas expresiones obtenemos $2a^{\frac{x}{2}}=p^y+1$. Si fuera $y>1$, entonces la versión aditiva del Teorema de Zsigmondy nos diría que existe un divisor primo de $p^y+1^y=p^y+1=2a^{\frac{x}{2}}$ que no es divisor de $p+1$, lo cual es imposible pues dicho primo debería ser impar (pues $p+1$ es par) y, en consecuencia, divisor de $a$, pero entonces las hipótesis del enunciado nos dicen que divide a $p+1$, absurdo. Por lo tanto necesariamente debe ser $y=1$.

Como $2a^{\frac{x}{2}}=p^y+1$ entonces $a^{\frac{x}{2}}=\frac{p+1}{2}$. Usando la igualdad $a^{\frac{x}{2}}-z=1$ obtenemos $\frac{p+1}{2}-z=1$, de donde $p=2z+1$. $\blacksquare$