Selectivo IMO, Perú. Problema 1

Rafaga
Mensajes: 12
Registrado: Mar 19 Dic, 2017 6:39 pm
Nivel: Ñandú

Selectivo IMO, Perú. Problema 1

Mensaje sin leer por Rafaga » Mar 12 Feb, 2019 6:45 pm

En cada casilla de un tablero de $2$ filas y $2019$ columnas se escribe un número real de modo que:

(i) No hay dos números escritos en la primera fila que sean iguales.
(ii) Los números escritos en la segunda fila son los mismos(pero en algún otro orden) que los números escritos en la primera fila.
(iii) Los dos números escritos en cada columna son diferentes y la suma de ellos es racional.

Determine la cantidad máxima de números irracionales que puede haber en el tablero.

Avatar de Usuario
Joacoini

OFO - Medalla de Plata FOFO 8 años - Medalla Especial OFO - Medalla de Oro
Mensajes: 137
Registrado: Jue 12 Oct, 2017 10:17 pm
Medallas: 3
Nivel: 2
Ubicación: Ciudad Gotica

Re: Selectivo IMO, Perú. Problema 1

Mensaje sin leer por Joacoini » Mar 12 Feb, 2019 9:55 pm

Spoiler: mostrar
Llamo ciclo a lo siguiente, si el número $a$ de la columna $x$ fila $1$ pasa a estar en la columna $y$ fila 2, el número $b$ de la columna $y$ fila 1 pasa a estar en la columna $z$ fila 2 y el número $c$ de la columna $z$ fila 1 pasa a estar en la columna $x$ fila 2, $a, b$ y $c$ estan en ciclo.

En un ciclo no hay mezclados irracionales y racionales porque si no en una parte apareceria que un racional más un irracional es racional.(1)

No puede haber un ciclo de irracionales impar.(2)

Sean $a_1, a_2,..., a_{2k+1}$ los irracionales.
$a_1+a_2=r_1$
$a_2+a_3=r_2$
...
$a_{2k+1}+a_1=r_{2k+1}$.

$r_i$ es racional.

$r_{2k+1}-r_{2k}+r_{2k-1}-...-r_2+r_1=S=2a_1\Rightarrow \frac{S}{2}=a_1$
Tenes que un irracional es igual a un racional, contradicción.

Por (2) no pueden haber $2019$ irracionales porque si o si hay un ciclo de irracionales impar.
Como para $2018$ hay solo un racional este solo puede estar en ciclo consigo mismo por (1) pero por la primer parte de (iii) no se puede.
Por (2) no pueden haber $2017$ irracionales porque si o si hay un ciclo de irracionales impar.

Ejemplo con $2016$
Spoiler: mostrar
Sea $c_i$ el número de la fila $1$ columna $i$.
Tomamos $c_j$ $1\leq j\leq 1008$ irracionales distintos positivos, tomamos $c_{1009}, c_{1010}$ y $c_{1011}$ racionales distintos y tomamos $c_t=-c_{2020-t}$ $1012\leq t\leq 2019$

Ahora ubicamos abajos de $c_j$ $c_{2020-j}$, abajo de $c_t$ $c_{2020-t}$, abajo de $c_{1009}$ $c_{1010}$, abajo de $c_{1010}$ $c_{1011}$ y abajo de $c_{1011}$ $c_{1009}$

Es obvio que las sumas de las columnas $1009, 1010$ y $1011$ son racionales ya que los números de sus casillas lo son y el resto de las columnas suman $0$
NO HAY ANÁLISIS.

Responder