Llamo ciclo a lo siguiente, si el número $a$ de la columna $x$ fila $1$ pasa a estar en la columna $y$ fila 2, el número $b$ de la columna $y$ fila 1 pasa a estar en la columna $z$ fila 2 y el número $c$ de la columna $z$ fila 1 pasa a estar en la columna $x$ fila 2, $a, b$ y $c$ estan en ciclo.
En un ciclo no hay mezclados irracionales y racionales porque si no en una parte apareceria que un racional más un irracional es racional.(1)
No puede haber un ciclo de irracionales impar.(2)
Sean $a_1, a_2,..., a_{2k+1}$ los irracionales.
$a_1+a_2=r_1$
$a_2+a_3=r_2$
...
$a_{2k+1}+a_1=r_{2k+1}$.
$r_i$ es racional.
$r_{2k+1}-r_{2k}+r_{2k-1}-...-r_2+r_1=S=2a_1\Rightarrow \frac{S}{2}=a_1$
Tenes que un irracional es igual a un racional, contradicción.
Por (2) no pueden haber $2019$ irracionales porque si o si hay un ciclo de irracionales impar.
Como para $2018$ hay solo un racional este solo puede estar en ciclo consigo mismo por (1) pero por la primer parte de (iii) no se puede.
Por (2) no pueden haber $2017$ irracionales porque si o si hay un ciclo de irracionales impar.
Sea $c_i$ el número de la fila $1$ columna $i$.
Tomamos $c_j$ $1\leq j\leq 1008$ irracionales distintos positivos, tomamos $c_{1009}, c_{1010}$ y $c_{1011}$ racionales distintos y tomamos $c_t=-c_{2020-t}$ $1012\leq t\leq 2019$
Ahora ubicamos abajos de $c_j$ $c_{2020-j}$, abajo de $c_t$ $c_{2020-t}$, abajo de $c_{1009}$ $c_{1010}$, abajo de $c_{1010}$ $c_{1011}$ y abajo de $c_{1011}$ $c_{1009}$
Es obvio que las sumas de las columnas $1009, 1010$ y $1011$ son racionales ya que los números de sus casillas lo son y el resto de las columnas suman $0$
