EGMO 2019 - P6

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial OFO - Medalla de Oro
Mensajes: 952
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 2
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

EGMO 2019 - P6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 10 Abr, 2019 7:01 pm

Alina traza $2019$ cuerdas en una circunferencia. Los puntos extremos de éstas son todos diferentes. Un punto se considera marcado si es de uno de los siguientes tipos:

(i) Uno de los $4038$ puntos extremos de las cuerdas

(ii) Un punto de intersección de al menos dos de las cuerdas

Alina etiqueta con un número cada punto marcado. De los $4038$ puntos de tipo (i), $2019$ son etiquetados con un $0$ y los otros $2019$ puntos con un $1$. Ella etiqueta cada punto del tipo (ii) con un entero arbitrario, no necesariamente positivo.
En cada cuerda, Alina considera todos los segmentos entre puntos marcados consecutivos (si una cuerda tiene $k$ puntos marcados, entonces tiene $k-1$ de estos segmentos). Sobre cada uno de esos segmentos, Alina escribe dos números: en amarillo escribe la suma de las etiquetas de los puntos extremos del segmento, mientras que en azul escribe el valor absolutos de su diferencia.
Alina se da cuenta que los $N+1$ números amarillos son exactamente los números $0,1,\ldots ,N$. Muestre que al menos uno de los números azules es múltiplo de $3$.
[math]

Responder