FOFO de Pascua 2019 Problema A: Para vos Fermat... Ah no, pará

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AgusBarreto

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FOFO de Pascua 2019 Problema A: Para vos Fermat... Ah no, pará

Mensaje sin leer por AgusBarreto » Jue 18 Abr, 2019 12:00 am

Demostrar que hay infinitos enteros positivos que no son expresables de la forma $x^2 + y^3$ con $x$ e $y$ enteros no negativos.

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AgusBarreto

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Re: FOFO de Pascua 2019 Problema A: Para vos Fermat... Ah no, pará

Mensaje sin leer por AgusBarreto » Dom 21 Abr, 2019 11:36 pm

Aquí vamos a publicar la solución oficial.

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Turko Arias

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Re: FOFO de Pascua 2019 Problema A: Para vos Fermat... Ah no, pará

Mensaje sin leer por Turko Arias » Lun 22 Abr, 2019 2:49 pm

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Sea $n$ un entero positivo, notamos que si $a$ es un entero positivo menor o igual que $n$ y existen enteros no negativos $x, y$ tales que $a=x^2+y^3$, entonces $x \leq \sqrt{n}$ e $y \leq \sqrt[3]{n}$. Luego, podemos afirmar que si $W(n)$ es la cantidad de enteros positivos menores o iguales que $n$ que pueden ser expresados como suma de un cuadrado perfecto y un cubo perfecto (ambos no negativos) entonces $W(n)=$(posibles valores de $x$)$*$(posibles valores de $y$) $\leq (\sqrt{n}+1) (\sqrt[3]{n}+1)=n^{\frac{5}{6}}+n^{\frac{1}{3}}+n^{\frac{1}{2}}+1$ (ya que tanto $x$ como $y$ pueden valer cero).
Sea $L(n)$ la cantidad de enteros positivos menores o iguales que $n$ que no pueden ser expresados como suma de un cuadrado perfecto y un cubo perfecto (ambos no negativos), entonces $L(n)=n-W(n)$, con lo que $n-n^{\frac{5}{6}}-n^{\frac{1}{3}}-n^{\frac{1}{2}}-1= n(1- \frac{1}{\sqrt[6]{n}} -\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}-\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{n}) \leq n-W(n)=L(n)$. Pero claramente:
$
\lim_{n \to \infty}n(1- \frac{1}{\sqrt[6]{n}} -\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}-\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{n}) =+\infty
$
Con lo que podemos afirmar que $
\lim_{n \to \infty} L(n) =+\infty
$ :o :o :o
y, por ende, existen infinitos enteros positivos que no pueden ser escritos como $x^2+y^3$ con $x$ e $y$ enteros no negativos.
Comentario:
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El límite no es más que una forma fancy de rematar el hecho de que nuestra cota inferior crece todo lo que queramos, y por ende, la expresión que está siendo acotada por abajo también va creciendo todo lo que queramos. Para ver esto basta, a grandes rasgos, con ir saltando de potencia sexta perfecta en potencia sexta perfecta, para que las raíces queden lindas, y creo que con prolijidad se puede ir operando para que quede :mrgreen:

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Elsa Muray

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Re: FOFO de Pascua 2019 Problema A: Para vos Fermat... Ah no, pará

Mensaje sin leer por Elsa Muray » Lun 22 Abr, 2019 4:03 pm

Turko Arias escribió:
Lun 22 Abr, 2019 2:49 pm
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Sea $n$ un entero positivo, notamos que si $a$ es un entero positivo menor o igual que $n$ y existen enteros no negativos $x, y$ tales que $a=x^2+y^3$, entonces $x \leq \sqrt{n}$ e $y \leq \sqrt[3]{n}$. Luego, podemos afirmar que si $W(n)$ es la cantidad de enteros positivos menores o iguales que $n$ que pueden ser expresados como suma de un cuadrado perfecto y un cubo perfecto (ambos no negativos) entonces $W(n)=$(posibles valores de $x$)$*$(posibles valores de $y$) $\leq (\sqrt{n}+1) (\sqrt[3]{n}+1)=n^{\frac{5}{6}}+n^{\frac{1}{3}}+n^{\frac{1}{2}}+1$ (ya que tanto $x$ como $y$ pueden valer cero).
Sea $L(n)$ la cantidad de enteros positivos menores o iguales que $n$ que no pueden ser expresados como suma de un cuadrado perfecto y un cubo perfecto (ambos no negativos), entonces $L(n)=n-W(n)$, con lo que $n-n^{\frac{5}{6}}-n^{\frac{1}{3}}-n^{\frac{1}{2}}-1= n(1- \frac{1}{\sqrt[6]{n}} -\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}-\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{n}) \leq n-W(n)=L(n)$. Pero claramente:
$
\lim_{n \to \infty}n(1- \frac{1}{\sqrt[6]{n}} -\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}-\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{n}) =+\infty
$
Con lo que podemos afirmar que $
\lim_{n \to \infty} L(n) =+\infty
$ :o :o :o
y, por ende, existen infinitos enteros positivos que no pueden ser escritos como $x^2+y^3$ con $x$ e $y$ enteros no negativos.
Comentario:
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El límite no es más que una forma fancy de rematar el hecho de que nuestra cota inferior crece todo lo que queramos, y por ende, la expresión que está siendo acotada por abajo también va creciendo todo lo que queramos. Para ver esto basta, a grandes rasgos, con ir saltando de potencia sexta perfecta en potencia sexta perfecta, para que las raíces queden lindas, y creo que con prolijidad se puede ir operando para que quede :mrgreen:
Pensé que eras menos asqueroso
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Turko Arias

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Re: FOFO de Pascua 2019 Problema A: Para vos Fermat... Ah no, pará

Mensaje sin leer por Turko Arias » Lun 22 Abr, 2019 4:06 pm

Elsa Muray escribió:
Lun 22 Abr, 2019 4:03 pm
Turko Arias escribió:
Lun 22 Abr, 2019 2:49 pm
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Sea $n$ un entero positivo, notamos que si $a$ es un entero positivo menor o igual que $n$ y existen enteros no negativos $x, y$ tales que $a=x^2+y^3$, entonces $x \leq \sqrt{n}$ e $y \leq \sqrt[3]{n}$. Luego, podemos afirmar que si $W(n)$ es la cantidad de enteros positivos menores o iguales que $n$ que pueden ser expresados como suma de un cuadrado perfecto y un cubo perfecto (ambos no negativos) entonces $W(n)=$(posibles valores de $x$)$*$(posibles valores de $y$) $\leq (\sqrt{n}+1) (\sqrt[3]{n}+1)=n^{\frac{5}{6}}+n^{\frac{1}{3}}+n^{\frac{1}{2}}+1$ (ya que tanto $x$ como $y$ pueden valer cero).
Sea $L(n)$ la cantidad de enteros positivos menores o iguales que $n$ que no pueden ser expresados como suma de un cuadrado perfecto y un cubo perfecto (ambos no negativos), entonces $L(n)=n-W(n)$, con lo que $n-n^{\frac{5}{6}}-n^{\frac{1}{3}}-n^{\frac{1}{2}}-1= n(1- \frac{1}{\sqrt[6]{n}} -\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}-\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{n}) \leq n-W(n)=L(n)$. Pero claramente:
$
\lim_{n \to \infty}n(1- \frac{1}{\sqrt[6]{n}} -\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}-\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{n}) =+\infty
$
Con lo que podemos afirmar que $
\lim_{n \to \infty} L(n) =+\infty
$ :o :o :o
y, por ende, existen infinitos enteros positivos que no pueden ser escritos como $x^2+y^3$ con $x$ e $y$ enteros no negativos.
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El límite no es más que una forma fancy de rematar el hecho de que nuestra cota inferior crece todo lo que queramos, y por ende, la expresión que está siendo acotada por abajo también va creciendo todo lo que queramos. Para ver esto basta, a grandes rasgos, con ir saltando de potencia sexta perfecta en potencia sexta perfecta, para que las raíces queden lindas, y creo que con prolijidad se puede ir operando para que quede :mrgreen:
Pensé que eras menos asqueroso
No te pases de vivo que te quedas sin clases hasta el próximo selectivo de IMO eh
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