Sea $n$ un entero positivo, notamos que si $a$ es un entero positivo menor o igual que $n$ y existen enteros no negativos $x, y$ tales que $a=x^2+y^3$, entonces $x \leq \sqrt{n}$ e $y \leq \sqrt[3]{n}$. Luego, podemos afirmar que si $W(n)$ es la cantidad de enteros positivos menores o iguales que $n$ que pueden ser expresados como suma de un cuadrado perfecto y un cubo perfecto (ambos no negativos) entonces $W(n)=$(posibles valores de $x$)$*$(posibles valores de $y$) $\leq (\sqrt{n}+1) (\sqrt[3]{n}+1)=n^{\frac{5}{6}}+n^{\frac{1}{3}}+n^{\frac{1}{2}}+1$ (ya que tanto $x$ como $y$ pueden valer cero).
Sea $L(n)$ la cantidad de enteros positivos menores o iguales que $n$ que no pueden ser expresados como suma de un cuadrado perfecto y un cubo perfecto (ambos no negativos), entonces $L(n)=n-W(n)$, con lo que $n-n^{\frac{5}{6}}-n^{\frac{1}{3}}-n^{\frac{1}{2}}-1= n(1- \frac{1}{\sqrt[6]{n}} -\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}-\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{n}) \leq n-W(n)=L(n)$. Pero claramente:
$
\lim_{n \to \infty}n(1- \frac{1}{\sqrt[6]{n}} -\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}-\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{n}) =+\infty
$
Con lo que podemos afirmar que $
\lim_{n \to \infty} L(n) =+\infty
$
y, por ende, existen infinitos enteros positivos que no pueden ser escritos como $x^2+y^3$ con $x$ e $y$ enteros no negativos.
El límite no es más que una forma fancy de rematar el hecho de que nuestra cota inferior crece todo lo que queramos, y por ende, la expresión que está siendo acotada por abajo también va creciendo todo lo que queramos. Para ver esto basta, a grandes rasgos, con ir saltando de potencia sexta perfecta en potencia sexta perfecta, para que las raíces queden lindas, y creo que con prolijidad se puede ir operando para que quede
Sea $n$ un entero positivo, notamos que si $a$ es un entero positivo menor o igual que $n$ y existen enteros no negativos $x, y$ tales que $a=x^2+y^3$, entonces $x \leq \sqrt{n}$ e $y \leq \sqrt[3]{n}$. Luego, podemos afirmar que si $W(n)$ es la cantidad de enteros positivos menores o iguales que $n$ que pueden ser expresados como suma de un cuadrado perfecto y un cubo perfecto (ambos no negativos) entonces $W(n)=$(posibles valores de $x$)$*$(posibles valores de $y$) $\leq (\sqrt{n}+1) (\sqrt[3]{n}+1)=n^{\frac{5}{6}}+n^{\frac{1}{3}}+n^{\frac{1}{2}}+1$ (ya que tanto $x$ como $y$ pueden valer cero).
Sea $L(n)$ la cantidad de enteros positivos menores o iguales que $n$ que no pueden ser expresados como suma de un cuadrado perfecto y un cubo perfecto (ambos no negativos), entonces $L(n)=n-W(n)$, con lo que $n-n^{\frac{5}{6}}-n^{\frac{1}{3}}-n^{\frac{1}{2}}-1= n(1- \frac{1}{\sqrt[6]{n}} -\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}-\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{n}) \leq n-W(n)=L(n)$. Pero claramente:
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\lim_{n \to \infty}n(1- \frac{1}{\sqrt[6]{n}} -\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}-\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{n}) =+\infty
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Con lo que podemos afirmar que $
\lim_{n \to \infty} L(n) =+\infty
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y, por ende, existen infinitos enteros positivos que no pueden ser escritos como $x^2+y^3$ con $x$ e $y$ enteros no negativos.
El límite no es más que una forma fancy de rematar el hecho de que nuestra cota inferior crece todo lo que queramos, y por ende, la expresión que está siendo acotada por abajo también va creciendo todo lo que queramos. Para ver esto basta, a grandes rasgos, con ir saltando de potencia sexta perfecta en potencia sexta perfecta, para que las raíces queden lindas, y creo que con prolijidad se puede ir operando para que quede
Sea $n$ un entero positivo, notamos que si $a$ es un entero positivo menor o igual que $n$ y existen enteros no negativos $x, y$ tales que $a=x^2+y^3$, entonces $x \leq \sqrt{n}$ e $y \leq \sqrt[3]{n}$. Luego, podemos afirmar que si $W(n)$ es la cantidad de enteros positivos menores o iguales que $n$ que pueden ser expresados como suma de un cuadrado perfecto y un cubo perfecto (ambos no negativos) entonces $W(n)=$(posibles valores de $x$)$*$(posibles valores de $y$) $\leq (\sqrt{n}+1) (\sqrt[3]{n}+1)=n^{\frac{5}{6}}+n^{\frac{1}{3}}+n^{\frac{1}{2}}+1$ (ya que tanto $x$ como $y$ pueden valer cero).
Sea $L(n)$ la cantidad de enteros positivos menores o iguales que $n$ que no pueden ser expresados como suma de un cuadrado perfecto y un cubo perfecto (ambos no negativos), entonces $L(n)=n-W(n)$, con lo que $n-n^{\frac{5}{6}}-n^{\frac{1}{3}}-n^{\frac{1}{2}}-1= n(1- \frac{1}{\sqrt[6]{n}} -\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}-\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{n}) \leq n-W(n)=L(n)$. Pero claramente:
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\lim_{n \to \infty}n(1- \frac{1}{\sqrt[6]{n}} -\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}-\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{n}) =+\infty
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Con lo que podemos afirmar que $
\lim_{n \to \infty} L(n) =+\infty
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y, por ende, existen infinitos enteros positivos que no pueden ser escritos como $x^2+y^3$ con $x$ e $y$ enteros no negativos.
El límite no es más que una forma fancy de rematar el hecho de que nuestra cota inferior crece todo lo que queramos, y por ende, la expresión que está siendo acotada por abajo también va creciendo todo lo que queramos. Para ver esto basta, a grandes rasgos, con ir saltando de potencia sexta perfecta en potencia sexta perfecta, para que las raíces queden lindas, y creo que con prolijidad se puede ir operando para que quede
Pensé que eras menos asqueroso
No te pases de vivo que te quedas sin clases hasta el próximo selectivo de IMO eh
